1.3.問題40
1.3.P40
\(A, B \in M_n\) のジョルダン積は \([A, B] = AB + BA\) と定義される。
行列 \(A\) と \(B\) が反交換するとは、\([A, B] = 0\) であることをいう（参照: 0.7.7）。
(a) 無限に異なる行列を含む可換な行列族の例を挙げよ。
(b) 行列族 \(F = \{A_1, A_2, \dots\}\) が次の条件を満たすとする:
\(i \neq j\) のとき \([A_i, A_j] = 0\) であり、かつすべての \(i = 1, 2, \dots\) に対して \(A_i^2 \neq 0\) である。
すなわち、族 \(F\) のいかなる行列も自身と反交換しない。
このとき、\(\mathbb{I} \notin F\) であり、\(F\) の任意の有限集合は線形独立であることを示せ。
これにより、\(F\) には高々 \(n^2 - 1\) 個の行列しか含まれないことが分かる。
(c) \(F = \{A_1, A_2, \dots\}\) が互いに反交換する異なる対角化可能な行列の族であるとする。
このとき、\(F\) は有限族であり、\(\{A_1^2, A_2^2, \dots\}\) は有限の可換対角化可能行列族を形成することを示せ。
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