1.3.問題37
1.3.P37
\(A \in M_n\) が中心対称（centrosymmetric）であるとする。
まず、\(n = 2m\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.2) で表されるとき、次を示せ：
A \sim (B - K_m C) \oplus (B + K_m C)
ここで相似変換に用いる実直交行列 \(Q\) は次で与えられる：
Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
I_m & -K_m \\
I_m & K_m
\end{bmatrix}
次に、\(n = 2m + 1\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.3) で表されるとき、次を示せ：
A \sim (B - K_m C) \oplus
\begin{bmatrix}
\alpha & \sqrt{2} x^T \\
\sqrt{2} K_m y & B + K_m C
\end{bmatrix}
このとき、相似変換に用いる実直交行列 \(Q\) は次で与えられる：
Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
I_m & 0 & I_m \\
0 & \sqrt{2} & 0 \\
- K_m & 0 & K_m
\end{bmatrix}
さらに、この \(Q\) が実直交行列であることを確認せよ。
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行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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