[行列解析1.3.P37]中心対称行列の直交相似分解

1.3.P37

1.3.問題37

\(A \in M_n\) が中心対称（centrosymmetric）であるとする。

まず、\(n = 2m\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.2) で表されるとき、次を示せ：

(0.9.10.2)

A = \begin{bmatrix} B & K_m C K_m \\ C & K_m B K_m \end{bmatrix},\quad B, C \in M_m(F)

A \sim (B - K_m C) \oplus (B + K_m C)

ここで相似変換に用いる実直交行列 \(Q\) は次で与えられる：

Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_m & -K_m \\ I_m & K_m \end{bmatrix}

次に、\(n = 2m + 1\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.3) で表されるとき、次を示せ：

(0.9.10.3)

A = \begin{bmatrix} B & K_m y & K_m C K_m \\ x^{\top} & \alpha & x^{\top} K_m \\ C & y & K_m B K_m \end{bmatrix},\quad \\ B, C \in M_m(F),\ x, y \in F^m,\ \alpha \in F

A \sim (B - K_m C) \oplus \begin{bmatrix} \alpha & \sqrt{2} x^{\top} \\ \sqrt{2} K_m y & B + K_m C \end{bmatrix}

このとき、相似変換に用いる実直交行列 \(Q\) は次で与えられる：

Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_m & 0 & I_m \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ - K_m & 0 & K_m \end{bmatrix}

さらに、この \(Q\) が実直交行列であることを確認せよ。

中心対称行列は反転行列 \(K_m\) を用いたブロック構造をもつ。

与えられた直交行列 \(Q\) による相似変換 \(Q^{\top} A Q\) を直接計算し、\(K_m^2=I_m\)、\(K_m^{\top}=K_m\) を用いて整理すると、ブロック対角化が確認できる。

まず \(n=2m\) の場合を考える。行列 \(A\) が

A= \begin{bmatrix} B & K_m C K_m\\ C & K_m B K_m \end{bmatrix}, \quad B,C\in M_m(F)

で与えられているとする。このとき

Q=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_m & -K_m\\ I_m & K_m \end{bmatrix}

とおく。\(K_m^{\top}=K_m\)、\(K_m^2=I_m\) より、

Q^{\top}Q=I_{2m}

が成り立つので、\(Q\) は実直交行列である。さらに \(Q^{\top}AQ\) を計算すると、

Q^{\top}AQ= \begin{bmatrix} B-K_m C & 0\\ 0 & B+K_m C \end{bmatrix}

を得る。したがって \( A\sim (B-K_m C)\oplus(B+K_m C) \) が示された。

次に \(n=2m+1\) の場合を考える。行列 \(A\) が

A= \begin{bmatrix} B & K_m y & K_m C K_m\\ x^{\top} & \alpha & x^{\top}K_m\\ C & y & K_m B K_m \end{bmatrix}, \quad B,C\in M_m(F),\ x,y\in F^m,\ \alpha\in F

で与えられているとする。このとき

Q=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_m & 0 & I_m\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\ - K_m & 0 & K_m \end{bmatrix}

とおく。再び \(K_m^{\top}=K_m\)、\(K_m^2=I_m\) を用いると、

Q^{\top}Q=I_{2m+1}

が成り立ち、\(Q\) は実直交行列である。さらに相似変換を計算すると、

Q^{\top}AQ= (B-K_m C)\oplus \begin{bmatrix} \alpha & \sqrt{2}x^{\top}\\ \sqrt{2}K_m y & B+K_m C \end{bmatrix}

を得る。したがって \( A\sim (B-K_m C)\oplus \begin{bmatrix} \alpha & \sqrt{2}x^{\top}\\ \sqrt{2}K_m y & B+K_m C \end{bmatrix} \) が示された。