[行列解析1.3.P37]

1.3.問題37

1.3.P37

\(A \in M_n\) が中心対称（centrosymmetric）であるとする。

まず、\(n = 2m\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.2) で表されるとき、次を示せ：

A \sim (B - K_m C) \oplus (B + K_m C)

ここで相似変換に用いる実直交行列 \(Q\) は次で与えられる：

Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_m & -K_m \\ I_m & K_m \end{bmatrix}

次に、\(n = 2m + 1\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.3) で表されるとき、次を示せ：

A \sim (B - K_m C) \oplus \begin{bmatrix} \alpha & \sqrt{2} x^T \\ \sqrt{2} K_m y & B + K_m C \end{bmatrix}

このとき、相似変換に用いる実直交行列 \(Q\) は次で与えられる：

Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_m & 0 & I_m \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ - K_m & 0 & K_m \end{bmatrix}

さらに、この \(Q\) が実直交行列であることを確認せよ。