[行列解析1.3.P36]

1.3.問題36

1.3.P36

\(A, B \in M_n\) とし、\(n \geq 2\) と仮定する。

\(A\) と \(B\) によって生成される代数（\(\mathcal{A}(A,B)\) と表す）は、\(A\) と \(B\) に関するすべての「単語」の集合の張る部分空間である（2.2.5参照）。

(a) \(A\) と \(B\) が共通の固有ベクトルをもたないならば、\(\mathcal{A}(A,B) = M_n\) であることを説明せよ。

(b) 次を考える：

A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}, \quad
B = A^T =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}

\(A\) と \(B\) が共通の固有ベクトルをもたないことを示し、したがって \(\mathcal{A}(A,B) = M_2\) であることを導け。

さらに、\(M_2\) の基底を \(A\) と \(B\) に関する「単語」で構成することで、直接的に証明せよ。

[行列解析1.3]相似性

1.3　相似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...

am-gm.com

2025.08.12