1.3.P36
1.3.問題36
\(A, B \in M_n\) とし、\(n \geq 2\) と仮定する。
\(A\) と \(B\) によって生成される代数（\(\mathcal{A}(A,B)\) と表す）は、\(A\) と \(B\) に関するすべての「単語(Word)」の集合の張る部分空間である（2.2.5参照）。
(a) \(A\) と \(B\) が共通の固有ベクトルをもたないならば、\(\mathcal{A}(A,B) = M_n\) であることを説明せよ。
(b) 次を考える：
A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}, \quad
B = A^{\top} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\(A\) と \(B\) が共通の固有ベクトルをもたないことを示し、したがって \(\mathcal{A}(A,B) = M_2\) であることを導け。
さらに、\(M_2\) の基底を \(A\) と \(B\) に関する「単語(Word)」で構成することで、直接的に証明せよ。
ヒント
代数 \(\mathcal{A}(A,B)\) が既約であることを示し、バーンサイドの定理を用いる。共通の固有ベクトルが存在しないことは、非自明な不変部分空間が存在しないことと対応する。具体例では、\(A,B\) による単語を実際に計算し、\(M_2\) の基底を与える。
解答例
(a) \(\mathcal{A}(A,B)\) を \(A,B\) によって生成される代数とする。もし \(\mathcal{A}(A,B)\) が既約でなければ、\(\mathbb{C}^n\) の真の非零部分空間 \(W\) が存在して、任意の \(C \in \mathcal{A}(A,B)\) に対し \(CW \subseteq W\) が成り立つ。このとき特に \(AW \subseteq W\)、\(BW \subseteq W\) であるから、\(W\) は \(A\) と \(B\) の共通不変部分空間である。したがって、\(W\) には共通の固有ベクトルが存在する。よって、\(A\) と \(B\) が共通の固有ベクトルをもたないならば、\(\mathcal{A}(A,B)\) は既約である。バーンサイドの定理より、\(n \geq 2\) のもとで既約な代数は全行列代数に一致するので、 \(\mathcal{A}(A,B) = M_n\) が成り立つ。
(b) 次の行列を考える：
A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix},
\quad
B =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
まず \(A\) の固有値は \(0\) のみであり、固有ベクトルは \(\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\) の張る一次元部分空間である。一方、\(B\) の固有値も \(0\) のみであり、固有ベクトルは \(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\) の張る一次元部分空間である。これらは一致しないため、\(A\) と \(B\) は共通の固有ベクトルをもたない。よって (a) より \(\mathcal{A}(A,B) = M_2\) である。
次に、これを直接示す。まず \( I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) とする。計算すると \( AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) である。したがって、 \( AB + BA = I \) が成り立つ。
さらに、 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \; B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) 自身も単語である。以上より、 \( \{I, A, B, AB\} \) はすべて \(A,B\) に関する単語であり、線形独立であることは直接計算で確かめられる。この4つは \(M_2\) の次元と一致するため、\(M_2\) の基底を与える。
したがって、\(A\) と \(B\) に関する単語の張る部分空間は \(M_2\) 全体に一致し、直接的にも \(\mathcal{A}(A,B)=M_2\) が示された。
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