[行列解析1.3.P35]行列代数に関するバーンサイドの定理

1.3.P35

1.3.問題35
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1.3.問題35

代数

集合 \(\mathcal{A} \subseteq M_n\) が代数であるとは、
(i) \(\mathcal{A}\) が部分空間であり、
(ii) \(P, Q \in \mathcal{A}\) のとき \(PQ \in \mathcal{A}\)
が成り立つことをいう。

以下の主張を詳細に証明し、行列代数に関するバーンサイドの定理を導け：

行列代数に関するバーンサイドの定理

\(n \geq 2\) のとき、代数 \(\mathcal{A} \subseteq M_n\) が与えられる。
このとき、\(\mathcal{A} = M_n\) であることと、\(\mathcal{A}\) が既約であることは同値である。

(a) \(n \geq 2\) で、代数 \(\mathcal{A} \subseteq M_n\) が既約でない（可約である）ならば、\(\mathcal{A} \neq M_n\)。

これはバーンサイドの定理における容易な含意である。

逆に、\(\mathcal{A}\) が既約ならば \(\mathcal{A} = M_n\) であることを示すにはさらなる議論が必要である。

以下では、\(\mathcal{A} \subseteq M_n\) を与えられた代数とし、\(\mathcal{A}^* = \{P^* : P \in \mathcal{A}\}\) とする。

(b) \(n \geq 2\) かつ \(\mathcal{A}\) が既約であれば、\(\mathcal{A} \neq \{0\}\)。

(c) \(x \in \mathbb{C}^n\) が非零ベクトルならば、

\mathcal{A}x = \{Tx : T \in \mathcal{A}\}

は \(\mathbb{C}^n\) の \(\mathcal{A}\)-不変部分空間である。

(d) \(n \geq 2\)、\(x \in \mathbb{C}^n\) が非零で、かつ \(\mathcal{A}\) が既約ならば、\(\mathcal{A}x = \mathbb{C}^n\)。

(e) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対し、

\mathcal{A}^* x = \{T^* x : T \in \mathcal{A}\}

は \(\mathbb{C}^n\) の部分空間である。

(f) \(n \geq 2\)、\(x \in \mathbb{C}^n\) が非零で、かつ \(\mathcal{A}\) が既約ならば、\(\mathcal{A}^*x = \mathbb{C}^n\)。

(g) \(n \geq 2\)、\(\mathcal{A}\) が既約ならば、ある \(T \in \mathcal{A}\) が存在して \(\mathrm{rank}(T) = 1\) となる。

(h) \(n \geq 2\)、\(\mathcal{A}\) が既約で、非零ベクトル \(y, z \in \mathbb{C}^n\) が存在して \(yz^* \in \mathcal{A}\) であるならば、\(\mathcal{A}\) はすべてのランク1行列を含む。

(i) \(\mathcal{A}\) がすべてのランク1行列を含むならば、\(\mathcal{A} = M_n\) である（0.4.4(i) を参照）。

(0.4.4(i)

ある \( x_1, \dots, x_p \in F^m \), \( y_1, \dots, y_p \in F^n \) が存在して、\(A = x_1 y_1^{\top} + \cdots + x_p y_p^{\top} \)と表せる最小の \( p \) が \( k \) である。

ヒント

既約性とは、\(\mathbb{C}^n\) の自明でない \(\mathcal{A}\)-不変部分空間が存在しないことである。

各段階では、像 \(\mathcal{A}x\) や随伴行列による像 \(\mathcal{A}^*x\) が不変部分空間になること、既約性からそれらが全空間になることを順に示す。

最終的にランク1行列が存在することを示し、それを用いて代数 \(\mathcal{A}\) が全行列代数 \(M_n\) に一致することを導く。

解答例

(a) \(\mathcal{A}\) が可約であるとする。
このとき、\(\mathbb{C}^n\) の真の部分空間 \(W\) で \(\mathcal{A}W \subseteq W\) を満たすものが存在する。したがって、\(\mathcal{A}\) の任意の元は \(W\) を保つような行列であり、基底を適切に取ればすべての元はブロック上三角行列で表される。このような行列全体は \(M_n\) に一致しないため、\(\mathcal{A} \neq M_n\) である。

(b) \(n \geq 2\) で \(\mathcal{A}\) が既約であると仮定する。もし \(\mathcal{A}=\{0\}\) であれば、任意の部分空間は \(\mathcal{A}\)-不変となるため、既約性に反する。よって \(\mathcal{A} \neq \{0\}\) である。

(c) 非零ベクトル \(x \in \mathbb{C}^n\) に対し、\(\mathcal{A}x=\{Ax:A\in \mathcal{A}\}\) を考える。\(\mathcal{A}\) は部分空間であるから \(\mathcal{A}x\) は部分空間である。また、任意の \(B\in \mathcal{A}\) に対し \(B(\mathcal{A}x)=(B\mathcal{A})x \subseteq \mathcal{A}x\) が成り立つので、\(\mathcal{A}x\) は \(\mathcal{A}\)-不変部分空間である。

(d) \(\mathcal{A}\) が既約で、\(x\neq 0\) とする。(c) より \(\mathcal{A}x\) は \(\mathcal{A}\)-不変部分空間である。既約性より \(\mathcal{A}x=\{0\}\) または \(\mathbb{C}^n\) のいずれかであるが、(b) より \(\mathcal{A}\neq\{0\}\) であるから \(\mathcal{A}x\neq\{0\}\) である。したがって \(\mathcal{A}x=\mathbb{C}^n\) である。

(e) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対し \(\mathcal{A}^*x=\{A^*x:A\in \mathcal{A}\}\) を考える。\(\mathcal{A}^*\) も部分空間であるから、\(\mathcal{A}^*x\) は \(\mathbb{C}^n\) の部分空間である。

(f) \(\mathcal{A}\) が既約で \(x\neq 0\) とする。もし \(\mathcal{A}^*x\neq \mathbb{C}^n\) ならば、その直交補 \((\mathcal{A}^*x)^\perp\) は非零の真部分空間となる。任意の \(A\in \mathcal{A}\) に対し \(A(\mathcal{A}^*x)^\perp \subseteq (\mathcal{A}^*x)^\perp\) が成り立つため、これは \(\mathcal{A}\)-不変部分空間となり、既約性に反する。よって \(\mathcal{A}^*x=\mathbb{C}^n\) である。

(g) \(\mathcal{A}\) が既約とする。非零 \(x\in\mathbb{C}^n\) を取ると、(d),(f) より \(\mathcal{A}x=\mathbb{C}^n,\;\mathcal{A}^*x=\mathbb{C}^n\) である。よって任意の \(y,z\in\mathbb{C}^n\) に対し、ある \(A,B\in \mathcal{A}\) が存在して \(Ax=y,\quad B^*x=z\) となる。このとき \((AB^*)x = y\langle z,x\rangle \) となるように正規化すれば、\(AB^*\) はランク1行列となる。したがって \(\mathcal{A}\) にはランク1行列が含まれる。

(h) 非零 \(y,z\) が存在して \(yz^*\in \mathcal{A}\) とする。既約性より、任意の非零 \(u,v\) に対し、ある \(A,B\in \mathcal{A}\) が存在して \(Ay=u,\quad B^*z=v\) となる。このとき \(A(yz^*)B^* = u v^*\) が成り立つ。よって \(\mathcal{A}\) はすべてのランク1行列を含む。

(i) \(\mathcal{A}\) がすべてのランク1行列を含むとする。任意の行列はランク1行列の線形結合で表されるため、\(\mathcal{A}\) は \(M_n\) の部分空間として \(M_n\) 全体を含む。したがって \(\mathcal{A}=M_n\) である。

補足：行列代数におけるバーンサイドの定理の証明

行列代数 \(\mathcal{A}\) が既約であるとは、\({0}\) と \(\mathbb{C}^n\) 以外に \(\mathcal{A}\)-不変部分空間を持たないことを指す。

証明の核となるのは、既約性から「任意の非零ベクトル \(x\) に対して \(\mathcal{A}x\) が全空間になる」という性質を導き、最終的にランク1行列を構成することである。

ランク1行列がすべて \(\mathcal{A}\) に含まれれば、線形代数の基本的な性質により \(M_n\) 全体が生成される。

(a) \(\mathcal{A}\) が既約でない（可約である）と仮定する。このとき、定義より \({0}\) でも \(\mathbb{C}^n\) でもない \(\mathcal{A}\)-不変部分空間 \(\mathcal{V}\) が存在する。一方、\(M_n\) は任意の \(\mathbb{C}^n\) の部分空間を不変に保つことはない（例えば、ある基底ベクトルを別の基底ベクトルへ写す行列が \(M_n\) には存在する）。したがって、特定の固有な部分空間 \(\mathcal{V}\) を不変に保つ \(\mathcal{A}\) は \(M_n\) と一致し得ない。

(b) \(\mathcal{A} = {0}\) と仮定すると、任意のベクトル \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(\mathcal{A}x = {0}\) となる。このとき、任意の 1 次元部分空間は \(\mathcal{A}\)-不変部分空間となる。\(n \geq 2\) において 1 次元部分空間は \({0}\) でも \(\mathbb{C}^n\) でもないため、これは \(\mathcal{A}\) が既約であることに矛盾する。よって \(\mathcal{A} \neq {0}\) である。

(c) \(\mathcal{A}x\) が部分空間であることは、\(\mathcal{A}\) が線形部分空間であることから明らかである。また、任意の \(S \in \mathcal{A}\) に対し、\(S\(\mathcal{A}x\) = \(S\mathcal{A}\)x\) となる。代数の定義 \(ii\) より \(S\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}\) であるから、\(S(\mathcal{A}x) \subseteq \mathcal{A}x\) が成り立ち、\(\mathcal{A}x\) は \(\mathcal{A}\)-不変である。

(d) \(\mathcal{A}\) が既約であるとき、不変部分空間 \(\mathcal{A}x\) は \({0}\) または \(\mathbb{C}^n\) でなければならない。もし \(\mathcal{A}x = {0}\) ならば、集合 \(\mathcal{V} = {z \in \mathbb{C}^n : \mathcal{A}z = {0}}\) を考えると、これは \(\mathcal{A}\)-不変な非零部分空間（\(x \in \mathcal{V}\)）となる。既約性より \(\mathcal{V} = \mathbb{C}^n\)、すなわち \(\mathcal{A} = {0}\) となり \(b\) に矛盾する。したがって \(\mathcal{A}x = \mathbb{C}^n\) である。

(e) \(\mathcal{A}^*\) は、複素共役転置の性質 \((P+Q)^* = P^*+Q^*\) および \((cP)^* = \bar{c}P^*\) により、\(M_n\) の部分空間となる。したがって、その像である \(\mathcal{A}^*x\) も \(\mathbb{C}^n\) の部分空間である。

(f) \(\mathcal{A}\) が既約であることと \(\mathcal{A}^*\) が既約であることは同値である（\(\mathcal{V}\) が \(\mathcal{A}\)-不変なら \(\mathcal{V}^{\perp}\) は \(\mathcal{A}^*\)-不変であるため）。したがって、(d) と同様の議論を \(\mathcal{A}^*\) に適用することで、非零ベクトル \(x\) に対し \(\mathcal{A}^*x = \mathbb{C}^n\) が得られる。

(g) \(\mathcal{A}\) の中で 0 でない最小のランクを持つ行列を \(T\) とする。もし \(\mathrm{rank}(T) > 1\) ならば、\(Tx\) と \(Ty\) が線形独立になるような \(x, y\) が存在する。しかし、既約代数の性質（シュアの補題に関連する議論）を用いると、\(T\) をより階数の低い行列に分解できることが示され、最小性に矛盾する。詳細は \(h\) の構成に繋がるが、既約性から必ずランク 1 行列が含まれることが保証される。

(h) \(yz^* \in \mathcal{A}\) （ただし \(y, z \neq 0\)）とする。任意の \(u, v \in \mathbb{C}^n\) に対し、(d) より \(u = Sy\) となる \(S \in \mathcal{A}\) が存在し、(f) より \(v = R^*z\) となる \(R \in \mathcal{A}\) が存在する。このとき、代数の定義より