[行列解析1.3.P31]2次行列の固有値の計算

1.3.P31

1.3.問題31

\(a, b \in \mathbb{C}\) とする。

次の行列の固有値が \(a \pm ib\) であることを示せ：

\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}

固有値は特性方程式 \( \det(A-\lambda I)=0 \) を計算することで求められる。2次行列の場合は行列式を直接計算すればよい。

与えられた行列を \(A=\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}\) とおく。固有値 \(\lambda\) は次の特性方程式を満たす。

\det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ -b & a-\lambda \end{bmatrix} =0

行列式を計算すると、

(a-\lambda)^2 + b^2 = 0

となる。これを \(\lambda\) について解くと、

\lambda - a = \pm i b

すなわち、

\lambda = a \pm i b

である。よって、この行列の固有値は \(a+ib\) と \(a-ib\) である。