1.3.P30
1.3.問題30
\(A \in M_n\) が対角化可能であり、\(A = S \Lambda S^{-1}\) とする。
ただし、\(\Lambda\) は (1.3.13) の形をもつとする。
A =
\begin{bmatrix}
\mu_1 I_{n_1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mu_2 I_{n_2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mu_d I_{n_d}
\end{bmatrix},
\quad \mu_i \neq \mu_j \ \text{if} \ i \neq j
\(f\) が複素数値関数で、その定義域が \(\sigma(A)\)（\(A\) の固有値の集合）を含むとき、次のように定義する：
f(A) = S f(\Lambda) S^{-1}, \quad f(\Lambda) = f(\mu_1) I_{n_1} \oplus \cdots \oplus f(\mu_d) I_{n_d}
ここで問う：\(f(A)\) は対角化に用いる相似変換の選び方（これは一意ではない）に依存するだろうか？
Theorem 1.3.27 を用いて、依存しないこと、すなわち
A = S \Lambda S^{-1} = T \Lambda T^{-1} \quad \Rightarrow \quad S f(\Lambda) S^{-1} = T f(\Lambda) T^{-1}
を示せ。
さらに、もし \(A\) が実固有値をもつならば、次が成り立つことを示せ：
\cos^2 A + \sin^2 A = I
ヒント
同じ行列 \(A\) に対する二つの対角化 \(A = S \Lambda S^{-1} = T \Lambda T^{-1}\) を比較し、\(\Lambda\) と可換な行列の構造を Theorem 1.3.27 によって調べる。また、\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) というスカラー恒等式を固有値ごとに用いる。
解答例
\(A = S \Lambda S^{-1} = T \Lambda T^{-1}\) とする。ただし \(\Lambda\) は
\Lambda =
\begin{bmatrix}
\mu_1 I_{n_1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mu_2 I_{n_2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mu_d I_{n_d}
\end{bmatrix},
\quad \mu_i \neq \mu_j \ (i \neq j)
である。このとき \(T^{-1}S\) は \(\Lambda\) と可換であるから、
\(T^{-1}S \, \Lambda = \Lambda \, T^{-1}S\)
が成り立つ。Theorem 1.3.27 より、\(\Lambda\) と可換な行列は各固有値ブロックごとに分解された同じ直和構造をもつ。
したがって、\(\Lambda\) の各ブロックにスカラー関数を作用させた \(f(\Lambda) = f(\mu_1) I_{n_1} \oplus \cdots \oplus f(\mu_d) I_{n_d}\) に対しても、
\(T^{-1}S \, f(\Lambda) = f(\Lambda) \, T^{-1}S\)
が成り立つ。よって、
S f(\Lambda) S^{-1}
= T (T^{-1} S) f(\Lambda) (S^{-1} T) T^{-1}
= T f(\Lambda) T^{-1}
となり、\(f(A)\) は対角化に用いる相似変換の選び方に依存しない。
次に、\(A\) が実固有値をもつと仮定する。このとき各 \(\mu_k\) は実数であり、スカラー恒等式 \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) から、
\cos^2(\mu_k) + \sin^2(\mu_k) = 1
が成り立つ。したがって、
\cos^2(\Lambda) + \sin^2(\Lambda)
= I_{n_1} \oplus \cdots \oplus I_{n_d}
= I
となる。よって、
\cos^2 A + \sin^2 A
= S \left( \cos^2(\Lambda) + \sin^2(\Lambda) \right) S^{-1}
= I
が成り立つ。
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