1.3.P26
1.3.問題26
\(e_1, \dots, e_n\) および \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m\) を、それぞれ \(\mathbb{C}^n\) および \(\mathbb{C}^m\) の標準直交基底とする。各ブロック \(P_{ij} \in M_{m,n}\) を \(P_{ij} = \varepsilon_j e_i^{\top}\) で与える \(n \times m\) ブロック行列
P = [P_{ij}] \in M_{mn}
(a) \(P\) が置換行列であることを示せ。
(b) 任意の \(A \in M_{mn}\) に対し、\(P\) による相似変換を考える：
\tilde{A} = P A P^T
このとき、\(\tilde{A}\) の成分は \(A\) の成分の並べ替えになっている。\(A\) および \(\tilde{A}\) を適切に分割することで、この並べ替えを簡潔に記述できる。
\(A = [A_{ij}] \in M_{mn}\) を \(m \times m\) ブロック行列とみなし、各ブロック \(A_{ij} \in M_n\) を
A_{ij} = [a^{(ij)}_{pq}]
と表す。また、\(\tilde{A} = [\tilde{A}_{pq}]\) を \(n \times n\) ブロック行列とみなし、各ブロック \(\tilde{A}_{pq} \in M_m\) とする。このとき、全ての \(i, j = 1, \dots, m\) および \(p, q = 1, \dots, n\) に対して、\(\tilde{A}_{pq}\) の \(i,j\) 成分は \(A_{ij}\) の \(p,q\) 成分に等しい。すなわち、
\tilde{A}_{pq} = [a^{(ij)}_{pq}]
である。したがって、\(A\) と \(\tilde{A}\) は置換相似であり、同じ固有値・行列式などを持つ。
(c) \(A\) の成分の特定のパターンは、\(\tilde{A}\) の成分に対応する特定のパターンを生み（逆も成り立つ）、例えば次が成り立つ：
(i) 全てのブロック \(A_{ij}\) が上三角行列である ⇔ \(\tilde{A}\) がブロック上三角行列である。
(ii) 全てのブロック \(A_{ij}\) が上ヘッセンベルグ行列である ⇔ \(\tilde{A}\) がブロック上ヘッセンベルグ行列である。
(iii) 全てのブロック \(A_{ij}\) が対角行列である ⇔ \(\tilde{A}\) がブロック対角行列である。
(iv) \(A\) がブロック上三角行列で、かつ全てのブロック \(A_{ij}\) が上三角行列である ⇔ \(\tilde{A}\) がブロック対角行列で、かつその主対角ブロックが全て上三角行列である。
ヒント
行列 \(P\) は標準基底の並べ替えを表す行列であり、転置行列が逆行列になる。
相似変換 \( \tilde{A}=PAP^{\top} \) は、行列の成分を規則的に並べ替える操作に対応する。
ブロック分割を工夫すると、その対応関係が明確になる。
解答例
(a) 各ブロック \( P_{ij}=\varepsilon_j e_i^{\top} \) は、標準基底ベクトルの積で定義されている。したがって \(P\) は各行・各列にちょうど一つずつ \(1\) を持ち、それ以外はすべて \(0\) である。このことから \(P\) は置換行列であり、\(P^{\top}=P^{-1}\) が成り立つ。
(b) 任意の \(A\in M_{mn}\) に対し、\( \tilde{A}=PAP^{\top} \) とおく。\(A\) を \(m\times m\) ブロック行列
A=[A_{ij}], \quad A_{ij}=[a^{(ij)}_{pq}]\in M_n
と分割し、\( \tilde{A} \) を \(n\times n\) ブロック行列 \( \tilde{A}=[\tilde{A}_{pq}] \) とみなす。このとき直接計算により、すべての \(i,j=1,\dots,m\)、\(p,q=1,\dots,n\) に対して
(\tilde{A}_{pq})_{ij}=a^{(ij)}_{pq}
が成り立つ。すなわち
\tilde{A}_{pq}=[a^{(ij)}_{pq}]
である。よって \( \tilde{A} \) は \(A\) の成分を規則的に並べ替えた行列であり、\(A\) と \( \tilde{A} \) は置換相似である。このため両者は同じ固有値、行列式などをもつ。
(c) 上の成分対応から、次の同値が直ちに従う。
(i) すべてのブロック \(A_{ij}\) が上三角行列であることと、\(\tilde{A}\) がブロック上三角行列であることは同値である。
(ii) すべてのブロック \(A_{ij}\) が上ヘッセンベルグ行列であることと、\(\tilde{A}\) がブロック上ヘッセンベルグ行列であることは同値である。
(iii) すべてのブロック \(A_{ij}\) が対角行列であることと、\(\tilde{A}\) がブロック対角行列であることは同値である。
(iv) \(A\) がブロック上三角行列で、かつすべてのブロック \(A_{ij}\) が上三角行列であることと、\(\tilde{A}\) がブロック対角行列であり、その主対角ブロックがすべて上三角行列であることは同値である。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント