1.3.問題25
1.3.P25
\(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(y^*x \neq -1\) と仮定する。
(a) 次を確認せよ：
(I + xy^*)^{-1} = I - cxy^*, \quad c = (1 + y^*x)^{-1}
(b) \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) とし、\(y^*x = 0\) と仮定する。このとき
A = (I + xy^*)\Lambda(I - xy^*) = \Lambda + xy^*\Lambda - \Lambda xy^* - (y^*\Lambda x)xy^*
の固有値は \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) であることを説明せよ。特に、\(x, y, \Lambda\) の成分が整数であれば、\(A\) の成分も整数になる。
この観察を用いて、固有値 \(1, 2, 7\) をもつ整数成分の \(3\times 3\) 行列の例を構成し、その固有値が確かに所望のものであることを確認せよ。
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