[行列解析1.3.P19]2×2ブロック中心対称行列の性質

1.3.P19

1.3.問題19
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1.3.問題19

\( B, C \in M_n \) とし、次を定義する。

A = \begin{pmatrix} B & C \\ C & B \end{pmatrix} \in M_{2n}, \quad Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ I_n & -I_n \end{pmatrix}

また、\( Q^{-1} = Q = Q^{\top} \) を確かめる。

さらに

K_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ I_n & 0_n \end{pmatrix}

(a) \( A \) のようなブロック構造をもつ \( M_{2n} \) の行列を 2×2ブロック中心対称行列（2-by-2 block centrosymmetric）という。

\( A \in M_{2n} \) が 2×2ブロック中心対称行列であることと、

K_{2n} A = A K_{2n}

が成り立つことが同値であることを示せ。

この恒等式から、正則な 2×2ブロック中心対称行列の逆行列もまた 2×2ブロック中心対称行列であること、さらに 2×2ブロック中心対称行列の積も 2×2ブロック中心対称行列であることを導け。

(b) \( Q^{-1} A Q = (B + C) \oplus (B - C) \) であることを示せ。

(c) \(\det A = \det(B^2 + CB - BC - C^2)\)、および \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}(B + C) + \mathrm{rank}(B - C)\) であることを説明せよ。

(d)

\begin{pmatrix} 0 & C \\ C & 0 \end{pmatrix}

が \( C \oplus (-C) \) に相似であること、そしてその固有値が \(\pm\) のペアで現れることを説明せよ。

さらに、\( C \) が実行列の場合、その固有値について何が言えるかを述べよ。

より正確な記述については (4.6.P20) を参照せよ。

ヒント

2×2ブロック中心対称行列とは、ブロック反転行列 \( K_{2n} \) と可換する行列であることに注意する。可換性 \( K_{2n}A=AK_{2n} \) は、ブロックの配置条件と等価になる。また、直交行列 \( Q \) による相似変換を用いると、行列 \( A \) はブロック対角化され、その結果から行列式や階数、固有値の性質が自然に導かれる。

解答例

(a) 行列 \( A=\begin{pmatrix} B & C \\ C & B \end{pmatrix} \) に対して、

K_{2n}A= \begin{pmatrix} 0 & I_n\\ I_n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & C\\ C & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C & B\\ B & C \end{pmatrix}

および

AK_{2n}= \begin{pmatrix} B & C\\ C & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_n\\ I_n & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C & B\\ B & C \end{pmatrix}

となるので \( K_{2n}A=AK_{2n} \) が成り立つ。逆に \( A\in M_{2n} \) が \( K_{2n}A=AK_{2n} \) を満たすと仮定すると、ブロック表示 \( A=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix} \) に対し、計算から \( A_{11}=A_{22} \)、\( A_{12}=A_{21} \) が従う。よって \( A \) は 2×2ブロック中心対称行列である。

この可換性から、\( A \) が正則ならば \( K_{2n}A^{-1}=A^{-1}K_{2n} \) が成り立ち、逆行列も 2×2ブロック中心対称行列である。また、同様に \( K_{2n}(AB)=(AB)K_{2n} \) より、積も再び 2×2ブロック中心対称行列となる。

(b) 行列 \( Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} I_n&I_n\\I_n&-I_n\end{pmatrix} \) は \( Q^{-1}=Q=Q^{\top} \) を満たす直交行列である。直接計算すると

Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} B+C & 0\\ 0 & B-C \end{pmatrix} = (B+C)\oplus(B-C)

が得られる。

(c) (b) の結果より、相似不変性から \( \det A=\det(B+C)\det(B-C) \) である。さらに \( \det(B+C)\det(B-C)=\det\bigl((B+C)(B-C)\bigr) \) であり、 \( (B+C)(B-C)=B^2+CB-BC-C^2 \) が成り立つ。したがって \( \det A=\det(B^2+CB-BC-C^2) \) である。

また、ブロック対角形の階数は和に分解されるので、 \( \mathrm{rank}\,A=\mathrm{rank}(B+C)+\mathrm{rank}(B-C) \) が従う。

(d) 行列 \( \begin{pmatrix} 0 & C \\ C & 0 \end{pmatrix} \) は (b) と同様に \( B=0 \) と置いた場合であり、