1.3.問題19
1.3.P19
\( B, C \in M_n \) とし、次を定義する。
A = \begin{pmatrix} B & C \\ C & B \end{pmatrix} \in M_{2n},
\quad
Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ I_n & -I_n \end{pmatrix}
また、\( Q^{-1} = Q = Q^T \) を確かめる。
さらに
K_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ I_n & 0_n \end{pmatrix}
(a) \( A \) のようなブロック構造をもつ \( M_{2n} \) の行列を 2×2ブロック中心対称行列（2-by-2 block centrosymmetric）という。
\( A \in M_{2n} \) が 2×2ブロック中心対称行列であることと、
K_{2n} A = A K_{2n}
が成り立つことが同値であることを示せ。
この恒等式から、正則な 2×2ブロック中心対称行列の逆行列もまた 2×2ブロック中心対称行列であること、さらに 2×2ブロック中心対称行列の積も 2×2ブロック中心対称行列であることを導け。
(b) \( Q^{-1} A Q = (B + C) \oplus (B - C) \) であることを示せ。
(c) \(\det A = \det(B^2 + CB - BC - C^2)\)、および \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}(B + C) + \mathrm{rank}(B - C)\) であることを説明せよ。
(d)
\begin{pmatrix} 0 & C \\ C & 0 \end{pmatrix}
が \( C \oplus (-C) \) に相似であること、そしてその固有値が \(\pm\) のペアで現れることを説明せよ。
さらに、\( C \) が実行列の場合、その固有値について何が言えるかを述べよ。
より正確な記述については (4.6.P20) を参照せよ。
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