1.3.問題14
1.3.P14
\( A \in M_n \) が対角化可能であるとする。
(a) \( A \) の階数が、その非零固有値の個数に等しいことを証明せよ。
(b) \( \mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,A^k \) が \( k = 1, 2, \ldots \) のすべてについて成り立つことを証明せよ。
(c) \( A \) が零因子行列（冪零行列）であることと、\( A = 0 \) であることが同値であることを証明せよ。
(d) \( \mathrm{tr}\,A = 0 \) ならば、\( \mathrm{rank}\,A \neq 1 \) であることを証明せよ。
(e) 上記 (a)〜(d) の結果を用いて、
B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
が対角化可能でないことを示せ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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