1.3.P8
1.3.問題8
\( A, B \in M_n \) であり、少なくとも一方が異なる固有値を持つ場合（もう一方については対角化可能性すら仮定しない）、
次の幾何学的議論の詳細を示せ。
すなわち、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時に対角化可能であることは同値である。
一方向は容易である。逆方向については、\( B \) が異なる固有値を持ち、\( Bx = \lambda x \) が成り立つ非零ベクトル \( x \) があると仮定する。
Bx = \lambda x, \quad x \neq 0
このとき、
B(Ax) = A(Bx) = A(\lambda x) = \lambda (Ax)
が成り立つので、(1.2.18) より、ある複素数 \( \mu \in \mathbb{C} \) が存在して \( Ax = \mu x \) となる。
定理 1.2.18.
\(A \in M_n\) とし、\(\lambda \in \sigma(A)\) が代数的重複度 \(k\) を持つとする。
このとき、\(\operatorname{rank}(A - \lambda I) \geq n - k\) が成り立ち、特に \(k=1\) の場合は等号が成立する。
Ax = \mu x
したがって、\( B \) を対角化する固有ベクトルの基底を用いて \( A \) も対角化できる。
もちろん、\( A \) の固有値が異なる必要はない。
ヒント
行列が可換であるとは \( AB = BA \) が成り立つことである。
同時対角化可能であるとは、同一の基底に関して両方の行列が対角行列で表されることをいう。
一方の行列が異なる固有値を持つとき、その固有空間の構造を利用すると、もう一方の行列の作用が強く制限される点に注目する。
解答例
まず、\( A \) と \( B \) が同時に対角化可能であるならば、ある正則行列 \( S \) が存在して \( S^{-1}AS \) と \( S^{-1}BS \) がともに対角行列となる。
このとき対角行列同士は可換であるから、 \( AB = BA \) が直ちに従う。この方向は容易である。
次に逆を示す。\( A,B \in M_n \) が可換であり、かつ \( B \) が異なる固有値をもつと仮定する。\( \lambda \) を \( B \) の固有値とし、 \( Bx = \lambda x, \quad x \neq 0 \) を満たす固有ベクトル \( x \) を取る。
\( AB = BA \) であるから、 \( B(Ax) = A(Bx) = A(\lambda x) = \lambda (Ax) \) が成り立つ。
したがって \( Ax \) も固有値 \( \lambda \) に対応する \( B \) の固有空間に属する。
ここで \( B \) は異なる固有値をもつので、各固有値の代数的重複度は 1 である。定理 1.2.18 より、このとき対応する固有空間は 1 次元である。
したがって、ある複素数 \( \mu \in \mathbb{C} \) が存在して \( Ax = \mu x \) と書ける。
Bx = \lambda x \;\Rightarrow\; B(Ax) = \lambda (Ax) \;\Rightarrow\; Ax = \mu x
以上より、\( B \) の各固有ベクトルは同時に \( A \) の固有ベクトルでもあることが分かる。
\( B \) は異なる固有値をもつため、その固有ベクトル全体は \( \mathbb{C}^n \) の基底をなす。
この基底に関して、\( B \) は対角行列で表され、同時に \( A \) も対角行列で表される。
よって \( A \) と \( B \) は同時に対角化可能である。
以上から、少なくとも一方が異なる固有値をもつ場合には、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時に対角化可能であることは同値であることが示された。
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