1.3.P4
1.3.問題4
\( A \in M_n \) が互いに異なる固有値 \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) を持ち、与えられた行列 \( B \in M_n \) と可換であるとき、\( B \) が対角化可能であり、かつ次数が高々 \( n - 1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( B = p(A) \) となることを示せ。
ヒント
\( A \) は互いに異なる固有値を持つので対角化可能であり、各固有空間は一次元である。このとき \( A \) と可換な行列 \( B \) は、各固有空間を保つことに注意する。さらに、補間多項式を用いることで \( B \) を \( A \) の多項式として表せる。
解答例
\( A \in M_n \) が互いに異なる固有値 \( \alpha_1,\ldots,\alpha_n \) を持つとする。このとき、\( A \) は対角化可能であり、ある正則行列 \( P \) を用いて
P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)
と書ける。ここで \( A \) と \( B \) は可換であるから \( AB=BA \) が成り立つ。これを上式に代入すると、\( P^{-1}BP \) は対角行列と可換である。
対角行列と可換な行列は対角行列でなければならないため、ある数 \( \beta_1,\ldots,\beta_n \) を用いて
P^{-1}BP=\mathrm{diag}(\beta_1,\ldots,\beta_n)
と表せる。よって \( B \) も対角化可能である。
次に、\( \alpha_1,\ldots,\alpha_n \) が互いに異なることから、ラグランジュ補間により次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( p(\alpha_i)=\beta_i \)（\( i=1,\ldots,n \)）を満たす。
このとき
p(A)=P\,\mathrm{diag}(p(\alpha_1),\ldots,p(\alpha_n))\,P^{-1}
=P\,\mathrm{diag}(\beta_1,\ldots,\beta_n)\,P^{-1}=B
が成り立つ。以上より、\( B \) は対角化可能であり、かつ次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( B=p(A) \) と表されることが示された。
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