観察 1.3.18.
\( n \geq 2 \) とする。
ある \( A \in M_n \) が (1.3.17) 形式のブロック三角行列に相似であるのは、\( \mathbb{C}^n \) の非自明な部分空間が \( A \)-不変である場合、かつその場合に限る。
さらに、もし \( W \subseteq \mathbb{C}^n \) が零でない \( A \)-不変部分空間であれば、\( W \) 内のあるベクトルは \( A \) の固有ベクトルである。
ある族 \( F \subseteq M_n \) が可約であるのは、ある \( k \in \{2, \ldots, n-1\} \) と正則行列 \( S \in M_n \) が存在し、各 \( A \in F \) に対して \( S^{-1}AS \) が (1.3.17) 形式を持つ場合、かつその場合に限る。
(1.3.17)
\begin{align}
S^{-1}AS
&=
\begin{bmatrix}
S^{-1}S_1B & S^{-1}AS_2
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_k \\ 0
\end{bmatrix}B & S^{-1}AS_2
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
B & C \\
0 & D
\end{bmatrix}, \notag \\
& B \in M_k, \ 1 \le k \le n-1 \notag
\end{align}
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