1.3 相似性
私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。
したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形変換のすべての基底表現に共通する性質を調べることと考えることができます。
- Definition 1.3.1.
- Observation 1.3.2.
- Theorem 1.3.3.
- Corollary 1.3.4.
- Example 1.3.5.
- Definition 1.3.6.
- Theorem 1.3.7.
- Lemma 1.3.8.
- Theorem 1.3.9.
- Lemma 1.3.10.
- Definition 1.3.11.
- Theorem 1.3.12.
(1.3.13)
A =
\begin{bmatrix}
\mu_1 I_{n_1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mu_2 I_{n_2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mu_d I_{n_d}
\end{bmatrix},\\
\mu_i \neq \mu_j \ \text{if} \ i \neq j
(1.3.14)
B =
\begin{bmatrix}
B_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & B_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & B_d
\end{bmatrix},\\
\quad B_i \in M_{n_i}
(1.3.15)
T =
\begin{bmatrix}
T_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & T_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & T_d
\end{bmatrix}
(1.3.17)
\begin{align}
S^{-1}AS
&=
\begin{bmatrix}
S^{-1}S_1B & S^{-1}AS_2
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_k \\ 0
\end{bmatrix}B & S^{-1}AS_2
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
B & C \\
0 & D
\end{bmatrix}, \notag \\
& B \in M_k, \ 1 \le k \le n-1 \notag
\end{align}
- Observation 1.3.18.
- Lemma 1.3.19.
- Definition 1.3.20.
- Theorem 1.3.21.
- Theorem 1.3.22.
- Example 1.3.23.
- Example 1.3.24.
- Example 1.3.25.
- Example 1.3.26.
- Theorem 1.3.27.
- Lemma 1.3.28.
- Theorem 1.3.29.
- Corollary 1.3.30.
- Theorem 1.3.31 (Mirsky).
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
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