1.2.P22
1.2.問題22
C_n =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & I_{n-1} \\
1 & 0_{1,n-1}
\end{bmatrix}
(0.9.6.2) に示されている \(n \times n\) 循環行列 \(C_n\) を考える。
与えられた \(\varepsilon > 0\) に対して、\(C_n(\varepsilon)\) を、\(C_n\) の \((n,1)\) 成分を \(\varepsilon\) に置き換えて得られる行列とする。このとき、\(C_n(\varepsilon)\) の特性多項式が
p_{C_n(\varepsilon)}(t) = t^n - \varepsilon
であり、そのスペクトルが
\sigma(C_n(\varepsilon)) = \left\{ \varepsilon^{1/n} e^{2\pi i k / n} \;:\; k = 0, 1, \dots, n-1 \right\}
であり、さらに \(I + C_n(\varepsilon)\) のスペクトル半径が
\rho(I + C_n(\varepsilon)) = 1 + \varepsilon^{1/n}
であることを示せ。
ヒント
行列 \( C_n(\varepsilon) \) は上三角部分に1を持ち、左下隅にのみ \( \varepsilon \) を持つ行列である。この形を利用して \( \det(tI-C_n(\varepsilon)) \) を直接計算すると特性多項式が求まる。得られた多項式の根から固有値とスペクトル半径を調べる。
解答例
\( C_n(\varepsilon) \) は次の形をしている。
C_n(\varepsilon)=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\varepsilon & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}
このとき \( tI-C_n(\varepsilon) \) の行列式を計算すると、上三角行列に近い構造から帰納的に
\det(tI-C_n(\varepsilon))=t^n-\varepsilon
が得られる。したがって、\( C_n(\varepsilon) \) の特性多項式は \( p_{C_n(\varepsilon)}(t)=t^n-\varepsilon \) である。
よって固有値は方程式 \( t^n=\varepsilon \) の解であり、
\sigma(C_n(\varepsilon))
=\left\{ \varepsilon^{1/n} e^{2\pi i k/n}\;:\;k=0,1,\dots,n-1 \right\}
となる。
次に \( I+C_n(\varepsilon) \) の固有値は \( 1+\mu \)（ただし \( \mu\in\sigma(C_n(\varepsilon)) \)）であるから、そのスペクトル半径は
\rho(I+C_n(\varepsilon))
=\max_{\mu\in\sigma(C_n(\varepsilon))} |1+\mu|
=1+\varepsilon^{1/n}
である。以上で主張がすべて示された。
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