[行列解析1.2.P21]Google行列の固有値の変化

1.2.P21

1.2.問題21

\( A \in M_n \) と、ゼロでないベクトル \( x, v \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。

\( c \in \mathbb{C} \)、\( v^* x = 1 \)、\( A x = \lambda x \)、および \(A\) の固有値が \(\lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) であると仮定する。

このとき、Google 行列

A(c) = cA + (1 - c)\lambda x v^*

の固有値が \(\lambda, c\lambda_2, \dots, c\lambda_n\) であることを示せ。

条件 \( v^* x = 1 \) と \( A x = \lambda x \) を用いると、行列 \( \lambda x v^* \) は \( x \) を固有ベクトルに持つ階数1行列であることが分かる。

まず \( x \) に対する作用を調べ、次に \( x \) と直交する部分空間上での作用を考えるとよい。

まず、仮定より \( A x = \lambda x \) かつ \( v^* x = 1 \) が成り立つ。このとき

A(c)x = cAx + (1-c)\lambda x v^* x = c\lambda x + (1-c)\lambda x = \lambda x

よって、\( x \) は \( A(c) \) の固有ベクトルであり、対応する固有値は \( \lambda \) である。

次に、\( A \) の他の固有値 \( \lambda_2,\dots,\lambda_n \) に対応する固有ベクトルを \( y \) とし、\( v^* y = 0 \) を満たすように取る。このとき \( Ay = \lambda_k y \) が成り立つ。

A(c)y = cAy + (1-c)\lambda x v^* y = c\lambda_k y

したがって、\( y \) は \( A(c) \) の固有ベクトルであり、対応する固有値は \( c\lambda_k \) である。

以上より、Google 行列 \( A(c) \) の固有値は \( \lambda, c\lambda_2, \dots, c\lambda_n \) であることが示された。