1.2.P19
1.2.問題19
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) のすべての成分が 0 または 1 であり、\( A \) のすべての固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) が正の実数であると仮定する。このとき、\(\det A\) が正の整数である理由を説明せよ。さらに、次の詳細を示せ：
n \ge \mathrm{tr}\,A
= \frac{1}{n}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)^n
\ge n(\lambda_1 \cdots \lambda_n)^{1/n}
= n(\det A)^{1/n} \ge n
これより、すべての \(\lambda_i = 1\)、すべての \(a_{ii} = 1\)、および \(\det A = 1\) であることを結論せよ。
ヒント
固有値 \( \lambda_1,\dots,\lambda_n \) がすべて正であるとき、行列式はその積で与えられる。
さらに、相加平均と相乗平均の不等式を用いて、トレースと行列式の間の関係を評価する。
解答例
\( A\in M_n \) の固有値を \( \lambda_1,\dots,\lambda_n \) とすると、行列式は \( \det A=\lambda_1\cdots\lambda_n \) で与えられる。仮定より各 \( \lambda_i \) は正の実数であるから、\( \det A \) は正の実数である。
また、問題の仮定の下では \( A \) の成分が整数であるため、特性多項式の定数項である \( \det A \) は整数となる。したがって \( \det A \) は正の整数である。
次に、固有値を用いると \( \mathrm{tr}\,A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n \) が成り立つ。相加平均と相乗平均の不等式より、
\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}{n}
\ge (\lambda_1\cdots\lambda_n)^{1/n}
が得られる。これを変形すると
\lambda_1+\cdots+\lambda_n
\ge n(\lambda_1\cdots\lambda_n)^{1/n}
= n(\det A)^{1/n}
となる。仮定(すべての成分が 0 または 1 )より \( n\ge \mathrm{tr}\,A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n \) であるから、これらをまとめると
n \ge \mathrm{tr}\,A
\ge n(\det A)^{1/n}
\ge n
が成り立つ。したがってすべての不等式は等号でなければならない。
相加平均と相乗平均の不等式で等号が成り立つのは \( \lambda_1=\cdots=\lambda_n \) のときである。さらに上の等式より \( \lambda_1=\cdots=\lambda_n=1 \) が従う。
このとき \( \mathrm{tr}\,A=n \) であり、各対角成分について \( a_{ii}=1 \) が成り立つ。また \( \det A=\lambda_1\cdots\lambda_n=1 \) である。
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