[行列解析1.2.P17]

1.2.問題17

1.2.P17　\( A, B \in M_n \) とし、次の行列 \( C \) を考える：

C =
\begin{bmatrix}
0_n & B \\
A   & 0_n
\end{bmatrix}

式 (0.8.5.13–14) を用いて、次を示せ：

p_C(t) = p_{AB}(t^2) = p_{BA}(t^2)

また、この事実が \( AB \) と \( BA \) が同じ固有値をもつことを意味する理由を丁寧に説明せよ。さらに、このことから

\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA), \quad \det(AB) = \det(BA)

が成り立つことを説明せよ。また、

\det(I + AB) = \det(I + BA)

が成り立つ理由も説明せよ。

[行列解析1.2]特性多項式と代数的重複度

1.2　特性多項式と代数的重複度複素正方行列はいくつの固有値を持つのでしょうか。また、それらを体系的に特徴づけるにはどうすればよいでしょうか。固有値・固有ベクトルの方程式 (1.1.3) を次のように書き換えます：(\lambda I - ...

am-gm.com

2025.08.10