[行列解析1.2.P16]行列式の一次摂動と特殊行列の行列式

1.2.P16　

1.2.問題16

\( A \in M_n \) および \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。次を定義する：

f(t) = \det\left(A + t x y^{\top}\right)

式 (0.8.5.11) を用いて、\( f(t) = \det A + \beta t \) が成り立つこと、すなわち \( f(t) \) が \( t \) に関して線形であることを示せ。ここで、\(\beta\) は何かを求めよ。

(0.8.5.11)

\det(\tilde{A} + x y^{\top}) = \det \tilde{A} + y^{\top} (\operatorname{adj} \tilde{A})\, x

任意の \( t_1 \neq t_2 \) に対して、次を示せ：

\det A = \frac{t_2 f(t_1) - t_1 f(t_2)}{t_2 - t_1}

次に、次の行列を考える：

A = \begin{bmatrix} d_1 & b & \cdots & b \\ c & d_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b \\ c & \cdots & c & d_n \end{bmatrix} \in M_n

ここで \( x = y = e \)（すべての成分が 1 のベクトル）、\( t_1 = b \)、\( t_2 = c \) とする。また、

q(t) = (d_1 - t)(d_2 - t) \cdots (d_n - t)

とおく。このとき、もし \( b \neq c \) ならば

\det A = \frac{b\, q(c) - c\, q(b)}{b - c}

が成り立ち、もし \( b = c \) ならば

\det A = q(b) - b\, q'(b)

が成り立つことを示せ。

さらに、もし \( d_1 = \cdots = d_n = 0 \) であれば、特性多項式 \( p_A(t) \) は \( b \neq c \) のとき

p_A(t) = \frac{b (t + c)^n - c (t + b)^n}{b - c}

となり、\( b = c \) のときは

p_A(t) = (t + b)^{n-1} \left( t - (n-1)b \right)

となることを示せ。

行列式は各列について線形である。

特に、1本の列だけを変化させた場合、行列式はその変化量に関して一次式になる。

この性質を随伴行列を用いた公式 \( \det(A+uv^{\top})=\det A+v^{\top}(\operatorname{adj}A)u \) に適用する。

また、得られた一次関数の2点補間を用いることで行列式を計算する。

(0.8.5.11)

\det(\tilde{A} + x y^{\top}) = \det \tilde{A} + y^{\top} (\operatorname{adj} \tilde{A})\, x

まず \( f(t)=\det(A+txy^{\top}) \) とおく。式 (0.8.5.11) より

\det(A+xy^{\top})=\det A+y^{\top}(\operatorname{adj}A)x

が成り立つ。これを \( x \) を \( tx \) に置き換えて用いると

f(t)=\det A+t\,y^{\top}(\operatorname{adj}A)x

となる。よって \( f(t)=\det A+\beta t \) は \( t \) に関して線形であり、係数は \( \beta=y^{\top}(\operatorname{adj}A)x \) である。

線形性より、任意の \( t_1\neq t_2 \) に対して

t_2f(t_1)=t_2\det A+t_1 t_2 \,y^{\top}(\operatorname{adj}A)x \\ t_1f(t_2)=t_1\det A+t_1 t_2 \,y^{\top}(\operatorname{adj}A)x \\ \, \\ \det A=f(0)=\frac{t_2 f(t_1)-t_1 f(t_2)}{t_2-t_1}

が従う。

次に与えられた行列 \( A \) を考える。ここで \( x=y=e \)（全成分が 1 のベクトル）とし、\( t_1=b \)、\( t_2=c \) とおくと、

A=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)+t\,ee^{\top}

とみなせる。ここで \( q(t)=(d_1-t)\cdots(d_n-t) \) とおくと、

f(t)=\det(\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)-tI+t\,ee^{\top})=q(t)+\beta t

となる。したがって \( b\neq c \) のとき、

\det A=\frac{b\,q(c)-c\,q(b)}{b-c}

が成り立つ。さらに \( b=c \) の場合は極限をとることで

\det A=q(b)-b\,q'(b)

を得る。

最後に \( d_1=\cdots=d_n=0 \) のとき、\( q(t)=(-t)^n \) であるから、特性多項式 \( p_A(t)=\det(tI-A) \) は \( b\neq c \) の場合

p_A(t)=\frac{b(t+c)^n-c(t+b)^n}{b-c}

となる。また \( b=c \) の場合には

p_A(t)=(t+b)^{n-1}\bigl(t-(n-1)b\bigr)

が得られる。