1.2.P12
1.2.問題12
\( x = [x_i] \), \( y = [y_i] \in \mathbb{C}^n \)、および \( a \in \mathbb{C} \) を与え、行列
A = \begin{pmatrix}
0_n & x\\
y^* & a
\end{pmatrix} \in M_{n+1}
について考える。行列 \( A \) の固有多項式 \( p_A(t) \) が
p_A(t) = t^{n-1}(t^2 - a t - y^* x)
となることを次の二通りの方法で示せ。
(a) コーシーの展開（式番号0.8.5.10）を用いて \( p_A(t) \) を計算する。
\det
\begin{bmatrix}
\tilde{A} & x \\
y^{\top} & a
\end{bmatrix}
=a \, \det \tilde{A}
-
y^{\top} (\operatorname{adj}\tilde{A})\, x
(b) なぜ \( \operatorname{rank} A \leq 2 \) であるかを説明し、(1.2.13) を用いて \( p_A(t) \) を計算する。
\begin{align}
&p_A(t) \notag \\
&= t^n - E_1(A) t^{n-1} + \cdots \notag \\
& \quad \quad \cdots + (-1)^{n-1} E_{n-1}(A) t + (-1)^n E_n(A) \notag
\end{align}なぜ \( E_1(A) \) と \( E_2(A) \) だけを計算すればよく、なぜ主部分行列は
\begin{pmatrix}
0 & x_i \\
\bar{y}_i & a
\end{pmatrix}
の形のものだけを考慮すればよいのかを説明せよ。
さらに、行列 \( A \) の固有値が
\frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4 y^* x}}{2}
と \( n-1 \) 個のゼロ固有値であることを示せ。
ヒント
固有多項式は \( p_A(t)=\det(tI_{n+1}-A) \) で定義される。ブロック行列の行列式はコーシーの展開公式を用いて計算できる。また、行列の階数が小さい場合、基本対称式 \( E_k(A) \) の多くはゼロとなることを利用できる。
解答例
まず (a) を示す。行列 \( A \) に対し
tI_{n+1}-A=
\begin{pmatrix}
tI_n & -x \\
- y^* & t-a
\end{pmatrix}
と書ける。
\begin{bmatrix} \tilde{A} & x \\ y^{\top} & a \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_n & x \\ y^{\top} & a \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} \tilde{A} & x \\ y^{\top} & a \end{bmatrix}
ここで \( \tilde{A}=tI_n \) として上述のコーシーの展開公式（式番号0.8.5.10）
\det
\begin{bmatrix}
\tilde{A} & x \\
y^{\top} & a
\end{bmatrix}
=
a \det \tilde{A}
-
y^{\top} (\operatorname{adj}\tilde{A}) x
を用いると，
p_A(t)
=
(t-a)\det(tI_n)
-
(-y^*)(\operatorname{adj}(tI_n))(-x)
となる。ここで \( \det(tI_n)=t^n \)，また \( \operatorname{adj}(tI_n)=t^{\,n-1}I_n \) であるから，
p_A(t)
=
(t-a)t^n - t^{\,n-1} y^* x
=
t^{n-1}(t^2 - a t - y^* x)
が得られる。
次に (b) を示す。行列 \( A \) の列空間は \( x \) と標準基底ベクトル \( e_{n+1} \) により生成され，行空間は \( y^* \) と \( e_{n+1}^\top \) により生成される。したがって \( \operatorname{rank}A\le 2 \) である。
このとき，次数 \( n+1 \) の固有多項式 \( p_A(t)=t^{n+1}-E_1(A)t^n+E_2(A)t^{n-1}-\cdots \) において，\( E_k(A)=0 \) が \( k\ge 3 \) で成り立つ。よって \( E_1(A) \) と \( E_2(A) \) のみを計算すれば十分である。
\( E_1(A) \) は対角成分の和であり，
E_1(A)=\operatorname{tr}A=a
である。次に \( E_2(A) \) はすべての \( 2\times 2 \) 主部分行列の行列式の和であるが，非零となり得るのは
\begin{pmatrix}
0 & x_i \\
\bar{y}_i & a
\end{pmatrix}
の形のものだけである。これらの行列式は \( -\bar{y}_i x_i \) であるから，
E_2(A)= -\sum_{i=1}^n \bar{y}_i x_i = - y^* x
となる。以上より，
p_A(t)
=
t^{n+1}-a t^n-(y^* x)t^{n-1}
=
t^{n-1}(t^2-a t-y^* x)
を得る。
最後に，\( p_A(t)=0 \) の解を求めると，
t=0 \quad (\text{重複度 } n-1), \qquad
t=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4y^*x}}{2}
となる。
したがって，行列 \( A \) の固有値は \( \frac{a\pm\sqrt{a^2+4y^*x}}{2} \) と \( n-1 \) 個の零固有値である。
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