[行列解析1.2.P9]6変数に対する基本対称式の展開

1.2.P9

1.2.問題9
- ヒント
- 解答例
行列解析の総本山
- 総本山の目次📚
- 記号の意味🔎

1.2.問題9

\( S_2(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、\( S_3(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、\( S_4(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、および \( S_5(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \) を明示的に計算しなさい。

S_2(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) = \sum_{1 \le i < j \le 6} \lambda_i \lambda_j

S_3(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) = \sum_{1 \le i < j < k \le 6} \lambda_i \lambda_j \lambda_k

S_4(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) = \sum_{1 \le i < j < k < l \le 6} \lambda_i \lambda_j \lambda_k \lambda_l

S_5(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) = \sum_{1 \le i < j < k < l < m \le 6} \lambda_i \lambda_j \lambda_k \lambda_l \lambda_m

ヒント

基本対称式 \( S_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_6) \) は，6個の変数から異なる \( k \) 個を選んだときの積をすべて足し合わせたものである。

添字の大小関係に注意して，定義通りに展開すればよい。

解答例

まず，2次の基本対称式は次のように展開される。

\begin{aligned} S_2(\lambda_1,\ldots,\lambda_6) &= \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_1\lambda_5+\lambda_1\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_2\lambda_5+\lambda_2\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_3\lambda_4+\lambda_3\lambda_5+\lambda_3\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_4\lambda_5+\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_5\lambda_6 \end{aligned}

次に，3次の基本対称式は次の通りである。

\begin{aligned} S_3(\lambda_1,\ldots,\lambda_6) &= \lambda_1\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_2\lambda_4+\lambda_1\lambda_2\lambda_5+\lambda_1\lambda_2\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_3\lambda_4+\lambda_1\lambda_3\lambda_5+\lambda_1\lambda_3\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_4\lambda_5+\lambda_1\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_3\lambda_4+\lambda_2\lambda_3\lambda_5+\lambda_2\lambda_3\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_4\lambda_5+\lambda_2\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_3\lambda_4\lambda_5+\lambda_3\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_3\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_4\lambda_5\lambda_6 \end{aligned}

4次の基本対称式は次のように表される。

\begin{aligned} S_4(\lambda_1,\ldots,\lambda_6) &= \lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4+\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_5+\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_2\lambda_4\lambda_5+\lambda_1\lambda_2\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_2\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_3\lambda_4\lambda_5+\lambda_1\lambda_3\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_3\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_4\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_3\lambda_4\lambda_5+\lambda_2\lambda_3\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_3\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_2\lambda_4\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_3\lambda_4\lambda_5\lambda_6 \end{aligned}

最後に，5次の基本対称式は次の通りである。

\begin{aligned} S_5(\lambda_1,\ldots,\lambda_6) &= \lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4\lambda_5 +\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_5\lambda_6 +\lambda_1\lambda_2\lambda_4\lambda_5\lambda_6 \\ &\quad +\lambda_1\lambda_3\lambda_4\lambda_5\lambda_6 +\lambda_2\lambda_3\lambda_4\lambda_5\lambda_6 \end{aligned}

行列解析の総本山

総本山の目次📚

[行列解析]総本山📚

行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。

記号の意味🔎

[行列解析9.0]主要な記号一覧🔎

行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。