[行列解析1.2.P8]行列にスカラー倍単位行列を加えた場合の固有多項式

1.2.P8

1.2.問題8

\( A \in M_n \) と \( \lambda \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。

また、\( A \) の固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) であるとする。

このとき、なぜ \( p_{A+\lambda I}(t) = p_A(t - \lambda) \) が成り立つのかを説明しなさい。

そして、この恒等式から \( A + \lambda I \) の固有値が \( \lambda_1 + \lambda, \ldots, \lambda_n + \lambda \) であることを導きなさい。

p_{A+\lambda I}(t) = p_A(t - \lambda)

\text{Eigenvalues of } A+\lambda I : \ \lambda_1 + \lambda, \ \ldots, \ \lambda_n + \lambda

固有多項式の定義 \( p_A(t)=\det(tI-A) \) に着目する。\( A+\lambda I \) に対する固有多項式を同じ定義から書き下し、行列式の基本性質を用いて整理すればよい。

固有多項式の定義より

p_{A+\lambda I}(t) =\det(tI-(A+\lambda I))

である。右辺を整理すると

tI-(A+\lambda I) =(t-\lambda)I-A

となる。したがって

p_{A+\lambda I}(t) =\det((t-\lambda)I-A) =p_A(t-\lambda)

が成り立つ。

いま \( A \) の固有値を \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) とすると，

p_A(t)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)

である。これを用いれば

p_{A+\lambda I}(t) =p_A(t-\lambda) =\prod_{i=1}^n \bigl(t-(\lambda_i+\lambda)\bigr)

となる。よって \( A+\lambda I \) の固有値は \( \lambda_1+\lambda,\ldots,\lambda_n+\lambda \) であることが分かる。