1.2.P5
1.2.P5
1.1.P6 冪零行列のすべての固有値が 0 である。また、0 が唯一の冪零かつ冪等な行列である。
(1.1.P6) を用いて、冪零行列（nilpotent matrix）のトレース（trace）が 0 であることを示しなさい。
また、冪零行列の固有多項式（characteristic polynomial）は何かを答えなさい。
ヒント
冪零行列とは、ある正の整数 \( k \) に対して \( A^k = O \) を満たす行列である。固有値と行列の冪の関係 \( A x = \lambda x \Rightarrow A^k x = \lambda^k x \) に注目すると、固有値の性質が分かる。また、トレースは固有値の和に等しいこと、固有多項式は固有値から決まることを用いる。
解答例
まず、\( A \) を冪零行列とする。
すなわち、ある正の整数 \( k \) が存在して \( A^k = O \)
冪零行列のトレースを求める。トレースは固有値の和に等しい。冪零行列のすべての固有値は \( 0 \) であるから、
\operatorname{tr}(A) = 0
が成り立つ。
最後に、冪零行列の固有多項式について述べる。\( n \times n \) 行列 \( A \) のすべての固有値が \( 0 \) であることから、固有多項式は
\chi_A(\lambda) = \lambda^n
である。
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