1.2.P4
1.2.P4
p_A(t) = t^n - S_1(A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} S_{n-1}(A) t + (-1)^n S_n(A) 1.1.P5
\( A \in M_n \) が冪等（idempotent）である、すなわち \( A^2 = A \) であるとします。このとき、\( A \) の各固有値は 0 または 1 のいずれかである。また、単位行列 \( I \) が、唯一の正則な冪等行列である。
\( A \in M_n \) が冪等行列（idempotent）であると仮定する。
式 (1.2.15) および (1.1.P5) を用いて、\( p_A(t) \) のすべての係数が整数（正・負またはゼロ）であることを示せ。
ヒント
冪等行列では \( A^2 = A \) が成り立つため、固有値は 0 または 1 に限られる。
固有多項式は固有値の積として表され、係数 \( S_k(A) \) は固有値の対称式として解釈できる。
解答例
\( A \in M_n \) を冪等行列、すなわち \( A^2 = A \) とする。1.1.P5 より、\( A \) の固有値はすべて 0 または 1 である。
固有値を重複度込みで \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) と書くと、各 \( \lambda_i \) は \( 0 \) または \( 1 \) である。
固有多項式は式 (1.2.15) より
p_A(t)
= t^n - S_1(A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} S_{n-1}(A) t + (-1)^n S_n(A)
で与えられる。一方、固有多項式は固有値を用いて
p_A(t) = \prod_{i=1}^{n} (t - \lambda_i)
とも表される。
ここで \( S_k(A) \) は固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) の基本対称式である。各 \( \lambda_i \) は 0 または 1 であるから、任意の積 \( \lambda_{i_1} \lambda_{i_2} \cdots \lambda_{i_k} \) も 0 または 1 であり、その和として表される \( S_k(A) \) は非負整数となる。
したがって、\( S_k(A) \) はすべて整数であり、符号 \( (-1)^k \) を掛けた固有多項式の各係数も整数（正・負または 0）となる。
以上より、冪等行列 \( A \) の固有多項式 \( p_A(t) \) のすべての係数は整数であることが示された。
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