1.2.9.スペクトル半径
定義
定義 1.2.9 \( A \in M_n \) とする。\( A \) のスペクトル半径は次で定義される：
\rho(A) = \max \{ \, |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \, \}
演習
演習 \( A \in M_n \) のすべての固有値は、複素平面における閉かつ有界な円板 \(\{\, z \in \mathbb{C} : |z| \leq \rho(A) \,\}\) 内に存在することを説明せよ。
演習
演習 \( A \in M_n \) が少なくとも1つの非零固有値をもつと仮定する。
このとき \(\min\{\, |\lambda| : \lambda \in \sigma(A), \ \lambda \neq 0 \,\} > 0\) が成り立つことを説明せよ。
演習
演習 上の2つの演習の根底にある事実は、\(\sigma(A)\) が空でない有限集合であるということである。なぜそうなるかを説明せよ。
場合によっては、行列の構造から特性多項式が容易に計算できることがある。対角行列や三角行列の場合がそうである。
演習
演習 次の上三角行列を考える：
T =
\begin{bmatrix}
t_{11} & \cdots & t_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & t_{nn}
\end{bmatrix}
\in M_n
\( p_T(t) = (t - t_{11}) \cdots (t - t_{nn}) \) が成り立つことを示せ。
したがって、\(T\) の固有値は対角成分 \(t_{11}, t_{22}, \ldots, t_{nn}\) である。
\(T\) が下三角行列ならどうなるか？
\(T\) が対角行列ならどうか？
演習
演習 \( A \in M_n \) がブロック上三角行列
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & * & \cdots & * \\
0 & A_{22} & \cdots & * \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & A_{kk}
\end{bmatrix},\\
\quad A_{ii} \in M_{n_i}, \ i = 1, \ldots, k
であるとする。このとき \( p_A(t) = p_{A_{11}}(t) \cdots p_{A_{kk}}(t) \) であり、\(A\) の固有値は \(A_{11}\) の固有値、\(A_{22}\) の固有値、…、および \(A_{kk}\) の固有値をすべて含み、それぞれの代数的重複度も含まれることを説明せよ。
この観察は固有値を計算する多くのアルゴリズムの基礎となっている。
前の演習がこの演習の特殊な場合であることを説明せよ。
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