1.2.8.ブラウアーの定理
例 1.2.8 ブラウアーの定理。
\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( x \neq 0 \)、そして \( A \in M_n \) とする。いま \( Ax = \lambda x \) であり、\( A \) の固有値が \(\lambda, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) であるとする。
このとき、\( A + xy^{*} \) の固有値は何か？
まず、\((t - \lambda)x = (tI - A)x\) から次が成り立つことに注目する：
\begin{align}
& (t - \lambda) \,\operatorname{adj}(tI - A) \, x \notag \\
&= \operatorname{adj}(tI - A)\,(tI - A)x \notag \\
&= \det(tI - A) \, x \notag \\
\end{align}すなわち、
(t - \lambda) \,\operatorname{adj}(tI - A) \, x
= p_{A}(t) \, x
\quad \tag{1.2.8a}
(0.8.5.11) を用いて次を計算する：
\begin{align}
& p_{A+xy^{*}}(t) \notag \\
&= \det\!\big(tI - (A + xy^{*})\big) \notag \\
&= \det\!\big((tI - A) - xy^{*}\big) \notag \\
&= \det(tI - A) - y^{*}\,\operatorname{adj}(tI - A)\,x \notag \\
\end{align}両辺に \( t - \lambda \) を掛け、(1.2.8a) を用いると次を得る：
\begin{align}
& (t - \lambda)\,p_{A+xy^{*}}(t) \notag \\
&= (t - \lambda)\,\det(tI - A) \notag
- y^{*}(t - \lambda)\,\operatorname{adj}(tI - A)\,x \notag \\
&= (t - \lambda)p_A(t) - p_A(t)\,y^{*}x \notag \\
\end{align}したがって、多項式の恒等式
(t - \lambda)\,p_{A+xy^{*}}(t)
= \big(t - (\lambda + y^{*}x)\big)\,p_A(t)
が得られる。左辺の多項式の零点は \(\lambda\) と \(A + xy^{*}\) の \(n\) 個の固有値である。右辺の零点は \(\lambda + y^{*}x, \lambda, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) である。よって、\(A + xy^{*}\) の固有値は \(\lambda + y^{*}x, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) である。
これで、任意の \(n \times n\) 複素行列が有限個の固有値をもつことが分かったので、スペクトル半径を定義することができる。
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