1.2.5
定義 1.2.5. \( A \in M_n \) とする。固有値 \(\lambda\) の 重複度 とは、固有多項式 \( p_A(t) \) の零点としての重複度をいう。明確にするため、固有値の重複度を 代数的重複度 と呼ぶことがある。
以後、\( A \in M_n \) の固有値とは、固有値とそれぞれの（代数的）重複度を含むものを意味する。したがって、\( A \) の固有多項式の零点（重複度を含む）は、\( A \) の固有値（重複度を含む）と一致する：
p_A(t) = (t - \lambda_1)(t - \lambda_2) \cdots (t - \lambda_n)
ここで \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) は \( A \) の \(n\) 個の固有値であり、任意の順序で並べられている。\( A \) の「異なる固有値」とは、集合 \(\sigma(A)\) の元を意味する。
これで、限定なしに「各行列 \( A \in M_n \) は複素数体上でちょうど \(n\) 個の固有値をもつ」と言えるようになった。
さらに、\(A\) のトレースと行列式は、それぞれ固有値の総和と総積に等しい。\(A\) が実行列であっても、その固有値は一部またはすべてが実数でない場合がある。
演習.
実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) を考える。
(a) なぜ \( p_A(t) \) のすべての係数が実数になるのか説明せよ。
(b) \(A\) が実数でない固有値 \(\lambda\) をもつと仮定する。(a) を用いて、\(\overline{\lambda}\) もまた \(A\) の固有値であり、\(\lambda\) と \(\overline{\lambda}\) の代数的重複度が同じであることを説明せよ。
もし \((x, \lambda)\) が \(A\) の固有ベクトル・固有値対であれば、\((\overline{x}, \overline{\lambda})\) も固有ベクトル・固有値対である（なぜか？）。このとき、\(x\) と \(\overline{x}\) はそれぞれ異なる固有値 \(\lambda\) と \(\overline{\lambda}\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであることに注意せよ。
コメント