1.2.4特性多項式の観察
観察 1.2.4 各 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) の特性多項式は次数 \( n \) を持ち、 \( p_A(t) = t^n - (\operatorname{tr} A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A \) となります。 さらに、\( p_A(\lambda) = 0 \) であることと \( \lambda \in \sigma(A) \) であることは同値なので、 \( \sigma(A) \) は高々 \( n \) 個の複素数を含みます。
証明：行列 \( tI - A \) の行列式の展開式（0.3.2.1）における各項は、\( tI - A \) の異なる行・列から1つずつ選んだ \( n \) 個の要素の積であり、それぞれは \( t \) の高々 \( n \) 次の多項式です。次数が \( n \) になるのは、積のすべての因子に \( t \) が含まれる場合だけで、これは対角成分の積
(t - a_{11}) \cdots (t - a_{nn}) = t^n - (a_{11} + \cdots + a_{nn}) t^{n-1} + \cdots
の場合に限られます。この項は対角成分のみから成るため次数 \( n \) になります。その他の項には必ず \( i \neq j \) なる \( -a_{ij} \) という因子が含まれるため、同じ行や列の \( (t - a_{ii}) \) は同時に因子になれず、その項の次数は高々 \( n-2 \) です。したがって、\( t^n \) と \( t^{n-1} \) の係数は上の項からのみ得られます。定数項は \( p_A(0) = \det(0I - A) = \det(-A) = (-1)^n \det A \) です。残りの主張は (1.2.1) と (1.2.2) の同値性、および次数 \( n \geq 1 \) の多項式は高々 \( n \) 個の異なる根を持つという事実から従います。
練習：\(\det(A - tI) = 0\) の根は \(\det(tI - A) = 0\) の根と同じであり、 \(\det(A - tI) = (-1)^n \det(tI - A) = (-1)^n(t^n + \cdots)\) となることを示せ。 特性多項式を \(\det(A - tI) = (-1)^n t^n + \cdots\) と定義することもできる。 ここで採用した慣習は、特性多項式の \( t^n \) の係数が常に \( +1 \) になるようにしている。
練習：\( A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in M_2 \) の特性多項式が \( p_A(t) = t^2 - (a+d) t + (ad - bc) = t^2 - (\operatorname{tr} A) t + \det A \) であることを示せ。 判別式 \( r = (-\operatorname{tr} A)^2 - 4 \det A = (a-d)^2 + 4bc \) を定め、 その平方根のひとつを \(\sqrt{r}\) とする。このとき
\lambda_1 = \frac{a+d + \sqrt{r}}{2}, \quad
\lambda_2 = \frac{a+d - \sqrt{r}}{2}
はそれぞれ \( A \) の固有値であることが分かる。さらに \(\operatorname{tr} A = \lambda_1 + \lambda_2\)、\(\det A = \lambda_1 \lambda_2\) を確かめよ。また、\(\lambda_1 \neq \lambda_2\) であることと \( r \neq 0 \) であることは同値である。もし \( A \in M_2(\mathbb{R}) \) ならば、(a) 固有値が実数であることと \( r \geq 0 \) は同値であり、(b) \( bc \geq 0 \) なら固有値は実数であり、(c) \( r \lt 0 \) なら \(\lambda_1\) は \(\lambda_2\) の複素共役であることを示せ。
この練習問題は、\( n > 1 \) のとき行列 \( A \in M_n \) の固有値 \(\lambda\) が \( p_A(t) \) の重根となることがあり得ることを示しています。例えば、恒等行列 \( I \in M_n \) の特性多項式は
p_I(t) = \det(tI - I) = \det((t-1)I) = (t-1)^n \det I = (t-1)^n
となり、固有値 \(\lambda = 1\) は \( p_I(t) \) の零点として重複度 \( n \) を持ちます。このような重複を固有値の列挙においてどのように扱うべきでしょうか。
\( n > 1 \) の \( A \in M_n \) に対して、その特性多項式を \( p_A(t) = (t - \alpha_1) \cdots (t - \alpha_n) \) と因数分解します。各零点 \(\alpha_i\)（重複度に関わらず）は \( A \) の固有値です。計算により
p_A(t) = t^n - (\alpha_1 + \cdots + \alpha_n) t^{n-1} + \cdots + (-1)^n \alpha_1 \cdots \alpha_n
となるので、(1.2.4) と (1.2.4c) を比較すると、\( p_A(t) \) の零点の和は \( A \) のトレース、零点の積は \( A \) の行列式であることが分かります。もし各零点の重複度が1であれば、\(\sigma(A) = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}\) であり、\(\operatorname{tr} A\) は固有値の和、\(\det A\) は固有値の積になります。この2つの関係式を、零点に重複がある場合にも成り立たせるためには、固有値を特性方程式の根の重複度に応じて列挙する必要があります。
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