[行列解析1.2]特性多項式と代数的重複度

1.2　特性多項式と代数的重複度

複素正方行列はいくつの固有値を持つのでしょうか。また、それらを体系的に特徴づけるにはどうすればよいでしょうか。

固有値・固有ベクトルの方程式 (1.1.3) を次のように書き換えます：

(\lambda I - A)x = 0, \quad x \neq 0 \tag{1.2.1}

したがって、\(\lambda \in \sigma(A)\) であることと、\(\lambda I - A\) が特異（非可逆）であることは同値です。すなわち、次が成り立ちます：

\det(\lambda I - A) = 0  \tag{1.2.2}

• Definition 1.2.3. 特性多項式の定義
• Observation 1.2.4. 特性多項式の観察
• Definition 1.2.5. 固有値の重複度
• Example 1.2.7. 例（\(I+xy^∗\)）の固有値と行列式
• Example 1.2.8. Brauer’s theorem.
• Definition 1.2.9. スペクトル半径
• Definition 1.2.10. 定義（主小行列式の総和）
• Definition 1.2.14. 第k次初等対称関数
• Theorem 1.2.16. 定理
• Theorem 1.2.17. 定理
• Theorem 1.2.18. 定理

行列解析の総本山

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行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。

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2025.08.05