1.1.P13
1.1.問題13
\( A \in M_{n} \) とし、\(\lambda, x\) が \(A\) の固有値・固有ベクトルの組であるとします。
\(x\) が \(\operatorname{adj} A\) の固有ベクトルであることを示しなさい。
ヒント
随伴行列の基本公式 \( A (\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A) \, A = (\det A) I \) を用いる。
固有値 \( \lambda \) が 0 である場合と 0 でない場合に分けて考えるとよい。
解答例
\( \lambda \) を \( A \) の固有値、\( x \neq 0 \) をそれに対応する固有ベクトルとすると、\( Ax = \lambda x \) が成り立つ。
随伴行列の基本的な性質より
A \operatorname{adj} A = (\operatorname{adj} A) A= (\det A) I
が成り立つ。
これを右から \( x \) に作用させると
( \operatorname{adj}A) A x = (\det A) x
を得る。
(1) まず \( \lambda \neq 0 \) の場合を考える。\( Ax = \lambda x \) を用いると
(\operatorname{adj} A) \, {\lambda} x= (\det A) x \\
となる。したがって
(\operatorname{adj} A) \, x
= \frac{\det A}{\lambda} x \\
が成り立ち、\( x \) は \( \operatorname{adj} A \) の固有ベクトルであり、対応する固有値は \( \dfrac{\det A}{\lambda} \) である。 あ
(2) \( \lambda = 0 \) の場合を考える。
\(A\)が固有値\(0\)を含むため \( \det A=0 \)であり、また任意のベクトル\(y\)に対して、\(Ay =\lambda y = 0 \) である。
A \, (\operatorname{adj} A) = (\det A) I = 0
を得る。
行列 \( A \in M_n \) が固有値 \( 0 \) をもち、その固有ベクトルを \( x\neq 0 \) とする。すなわち \( Ax=0 \) が成り立つ。このとき \( \det(A)=0 \) である。
まず \( \mathrm{rank}\,A \le n-2 \) の場合を考える。このとき任意の \( (n-1) \) 次小行列式は 0 であるから \( \mathrm{adj}(A)=0 \) となる。したがって \( \mathrm{adj}(A)x=0 \) であり、\( x \) は固有値 \( 0 \) に対応する \( \mathrm{adj}(A) \) の固有ベクトルである。
次に \( \mathrm{rank}\,A = n-1 \) の場合を考える。このとき零固有値の固有空間は 1 次元であり、 \( \ker A = \mathrm{span}\{x\} \) である。また随伴行列の基本性質 \( A\,\mathrm{adj}(A)=0 \) より、任意のベクトル \( y \) に対して \( A(\mathrm{adj}(A)y)=0 \) が成り立つ。したがって \( \mathrm{Im}(\mathrm{adj}(A)) \subset \ker A = \mathrm{span}\{x\} \) である。
特に \( y=x \) とすると、ある実数（または複素数） \( \mu \) が存在して \( \mathrm{adj}(A)x=\mu x \) と書ける。これは \( x \) が \( \mathrm{adj}(A) \) の固有ベクトルであることを意味する。
以上より、行列 \( A \) が固有値 \( 0 \) をもち、その固有ベクトルを \( x \) とするとき、\( x \) は必ず \( \mathrm{adj}(A) \) の固有ベクトルでもあることが示された。
このときの固有値は \(\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))\)です。
(1)(2)より、いずれの場合も \( x \) は \( \operatorname{adj} A \) の固有ベクトルであることが示された。
補足
\( A \in M_n \) が固有値 \( 0 \) をもち、対応する固有ベクトルを \( x\neq 0 \) とする。すなわち \( Ax=0 \) である。前問の結果より、あるスカラー \( \mu \) が存在して \( \mathrm{adj}(A)x=\mu x \) と書ける。
まず \( \mathrm{rank}\,A\le n-2 \) の場合を考える。このとき \( \mathrm{adj}(A)=0 \) であるから、すべての固有値は 0 であり \( \mu=0=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)) \) が成り立つ。
次に \( \mathrm{rank}\,A=n-1 \) の場合を考える。このとき \( \ker A=\mathrm{span}\{x\} \) であり、また \( A\,\mathrm{adj}(A)=0 \) より \( \mathrm{Im}(\mathrm{adj}(A))\subset \ker A \) が成り立つ。したがって \( \mathrm{adj}(A) \) の像は 1 次元であり、 \( \mathrm{rank}\,\mathrm{adj}(A)=1 \) である。
よって \( \mathrm{adj}(A) \) の固有値は、ある一つの非零固有値 \( \mu \) と、残りはすべて 0 である。この唯一の非零固有値に対応する固有ベクトルが \( x \) であり、 \( \mathrm{adj}(A)x=\mu x \) である。
行列のトレースは固有値の総和に等しいから、 \( \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))=\mu \) が従う。
以上より、行列 \( A \) が固有値 \( 0 \) をもち、その固有ベクトルを \( x \) とするとき、 \( x \) は \( \mathrm{adj}(A) \) の固有ベクトルであり、その固有値は \( \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)) \) に等しいことが示された。
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