1.1.P11
1.1.問題11
\( A \in M_n \) と \( \lambda \in \sigma(A) \) が与えられているとする。このとき、\( A - \lambda I \) は特異（singular）であるため、
(A - \lambda I) \, \operatorname{adj}(A - \lambda I)
= (\det(A - \lambda I)) I = 0
が成り立つ（式 (0.8.2) を参照）。
ここで、ある \( y \in \mathbb{C}^n \) （\( y = 0 \) の場合もあり得る）が存在して
\operatorname{adj}(A - \lambda I) = x y^{*}
と書けることを説明せよ。
さらに、\(\operatorname{adj}(A - \lambda I)\) の任意の非零列は、固有値 \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであることを結論づけよ。
また、この観察が有用なのは \(\operatorname{rank}(A - \lambda I) = n - 1\) の場合に限られる理由を説明せよ。
ヒント
随伴行列の定義と性質 \(A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)I\) を用いる。階数が \(n-1\) のとき、随伴行列の階数が 1 になる点に注意するとよい。
解答例
\( \lambda \in \sigma(A) \) であるから、\( A-\lambda I \) は特異行列であり、 \( \det(A-\lambda I)=0 \) が成り立つ。随伴行列の基本的性質より、
(A-\lambda I)\operatorname{adj}(A-\lambda I)
= (\det(A-\lambda I))I = 0
が従う。したがって、\(\operatorname{adj}(A-\lambda I)\) の各列は \(A-\lambda I\) の核に属する。
ここで \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)=n-1\) の場合を考える。このとき \(\dim\ker(A-\lambda I)=1\) であるから、\(\operatorname{adj}(A-\lambda I)\) の像は一次元である。
したがって、あるベクトル \(x,y \in \mathbb{C}^n\)（\(y=0\) の場合も含む）が存在して
\operatorname{adj}(A-\lambda I)=x y^{*}
と表すことができる。
\(\operatorname{adj}(A-\lambda I)\) の任意の非零列 \(v\) を取ると、 \(v = x(y^{*}e_j)\) と書け、特に \(v\neq 0\) である。このとき
\( (A-\lambda I)v = 0 \)
が成り立つので、 \( Av=\lambda v \) である。よって、\(\operatorname{adj}(A-\lambda I)\) の任意の非零列は、固有値 \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルである。
なお、\(\operatorname{rank}(A-\lambda I)\le n-2\) の場合には \(\operatorname{adj}(A-\lambda I)=0\) となり、非零列が存在しない。
このため、この観察が有用なのは \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)=n-1\) の場合に限られる。
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