(2.7.P6)
2.7.問題6
ユニタリ行列
U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} \in M_2
を考える。
(a) \(|u_{11}| = |u_{22}|\)、および \(|u_{21}| = |u_{12}| = \sqrt{1 - |u_{11}|^2}\) であることをCS分解を用いて示せ。
(b) \( U \) が対角ユニタリ相似によって複素対称行列に変換可能であることをCS分解を用いて示せ。
ヒント
\(2\times2\) ユニタリ行列にCS分解を適用すると、角度 \( \theta \) を用いて \( \cos\theta \) と \( \sin\theta \) を成分とする標準形に書ける。特異値は絶対値に等しいことを用いれば (a) が従う。(b) では位相因子を対角ユニタリ行列で調整し、非対角成分の偏角を一致させればよい。
解答例
\( U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{pmatrix} \in M_2 \) をユニタリ行列とする。
CS分解により、適当なスカラーのユニタリ数 \( e^{i\alpha}, e^{i\beta}, e^{i\gamma}, e^{i\delta} \) と角度 \( \theta \in [0,\frac{\pi}{2}] \) が存在して
U =
\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 \\
0 & e^{i\beta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\gamma} & 0 \\
0 & e^{i\delta}
\end{pmatrix}
と書ける。
(a) 上式より
|u_{11}| = |\cos\theta|,
\quad
|u_{22}| = |\cos\theta|,
\quad
|u_{12}| = |\sin\theta|,
\quad
|u_{21}| = |\sin\theta|
である。ここで \( \theta \in [0,\frac{\pi}{2}] \) であるから \( |\cos\theta|=\cos\theta \), \( |\sin\theta|=\sin\theta \) である。したがって \( |u_{11}|=|u_{22}| \) および \( |u_{12}|=|u_{21}|=\sqrt{1-|u_{11}|^2} \) が成り立つ。
(b) 上の分解において、左右の対角ユニタリ行列をまとめて
D =
\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 \\
0 & e^{i\beta}
\end{pmatrix}
とし、適切に位相を調整すると、非対角成分の偏角を一致させることができる。実際、対角ユニタリ行列 \( D_1, D_2 \) を選べば
D_1 U D_2 =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
の形にできる。右辺は明らかに対称行列である。
したがって、\( U \) は対角ユニタリ相似によって複素対称行列に変換可能である。
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