すべての可逆行列は、異なる固有値を持つ行列と対角的に同値である
任意の可逆な\(n×n\)複素行列\(A\)に対して、\(n×n\)対角逆行列\(D\)が存在し、\(AD\)が異なる固有値を持つことを示します。
この結果を用いて、Feng、Li、Huangの予想を裏付けます。
\(n×n\)行列が異なる固有値を持つ行列と対角同値でない場合、かつその行列が特異行列であり、かつその\(n−1\)の大きさの主小行列がすべて\(0\)である場合に限ります。
Man-Duen Choi a, Zejun Huang b, Chi-Kwong Li c, Nung-Sing Sze b
a Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario, Canada M5S 2E4
b Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University, Hung Hom, Kowloon, Hong Kong
c Department of Mathematics, College of William & Mary, Williamsburg, VA 23187-8795, USA
1. 序論
\( M_n \) の行列が相異なる固有値をもつ行列と対角同値でないのは，それが特異であり，かつサイズ \( n-1 \) のすべての主小行列式がゼロである場合に限る。
定理 1.1.
\( A \in M_n \) を可逆とする。このとき，可逆な対角行列 \( D \in M_n \) が存在して，\( AD \) は相異なる固有値をもつ。
この結果が示されれば，次の系が従う。
系 1.2.
\( A \in M_n \) とする。次の条件は同値である。
(a) \( A \) は，相異なる固有値をもつ行列と対角同値でない。
(b) \( AD \) が相異なる固有値をもつような対角行列 \( D \) は存在しない。
(c) 行列 \( A \) は特異であり，サイズ \( n-1 \) のすべての主小行列式がゼロである。
証明．
含意 (a) ⇒ (b) は明らかである。
条件 (c) が成り立たないと仮定する。
このとき，\( A \) は可逆であるか，あるいはサイズ \( n-1 \) の可逆な主部分行列をもつ。
前者の場合を考えると，定理 1.1 により，可逆な対角行列 \( D \) が存在して，\( AD \) は相異なる固有値をもつ。
後者の場合には，一般性を失うことなく，先頭の主部分行列 \( A_1 \in M_{n-1} \) が可逆であると仮定できる。
定理 1.1 より，可逆な対角行列 \( D_1 \in M_{n-1} \) が存在して，\( A_1D_1 \) は相異なる（かつ非零の）固有値をもつ。
\( D = D_1 \oplus [0] \) とおけば，\( AD \) は 0 を含む相異なる固有値をもつ。
したがって，(b) は成り立たない。以上により，(a) ⇒ (b) ⇒ (c) が示された。
次に，行列 \( B \in M_n \) の特性多項式は \( \det(xI_n - B) = x^n + b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x + b_0 \) の形をしており，\( (-1)^j b_{n-j} \) は \( B \) の \( j \times j \) 主小行列式の総和であることを思い出そう。
条件 (c) が成り立つと仮定する。
\( D_1AD_2 \) の主小行列式は，\( A \) の対応する主小行列式のスカラー倍であるから，\( D_1AD_2 \) の特性多項式は \( \det(xI_n - D_1AD_2) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 \) の形をもち，0 は少なくとも重複度 2 の根となる。
したがって，\( D_1AD_2 \) は相異なる \( n \) 個の固有値をもつことはできない。
よって，(c) ⇒ (a) も示された。
対角行列全体の集合は \( M_n \) における \( n \) 次元部分空間であることに注意する。
定理 1.1 は次のように拡張できる。
系 1.3.
\( V \) を \( M_n \) の部分空間とする。
(a) 可逆行列 \( R, S \) が存在して，\( RVS = \{RXS : X \in V\} \) が対角行列全体の部分空間を含むならば，任意の可逆行列 \( A \in M_n \) に対して，相異なる固有値をもつ \( AX \) を与える \( X \in V \) が存在する。
(b) 可逆行列 \( R, S \) が存在して，任意の \( X \in V \) に対し \( RXS \) の第 1 行および最終列がゼロであるならば，\( A = SR \) は可逆であり，\( AX \) は \( RXS \) と相似であるが，それはどの \( X \in V \) に対しても相異なる固有値をもつことはできない。
証明．
(a) \( A \) を可逆とする。定理 1.1 により，ある対角行列 \( D \) が存在して，\( S^{-1}AR^{-1}D \) は相異なる固有値をもつ。
\( X = R^{-1}DS^{-1} \in V \) とおくと， \( S^{-1}(AX)S = (S^{-1}AR^{-1})D \) であるから，\( AX \) は相異なる固有値をもつ。
(b) 主張は容易に確かめられる。
2. 定理 1.1 の証明
\( n \) に関する帰納法で定理 1.1 を証明する。
\( A \in M_1 \) の場合は自明である。
\( 1 \le k \lt n \) に対して，すべての \( k \times k \) 可逆行列について結果が成り立つと仮定する。
\( A \in M_n \) を可逆とする。以下の 2 つの場合を考える。
場合 1．\( k = 1, \ldots, n-1 \) に対して，すべての \( k \times k \) 主小行列式が特異であるとする。
このとき，\( A \) の特性多項式は \( x^n - a_0 \) の形となり，\( n \) 個の相異なる根をもつ。したがって，\( D = I_n \) とすればよい。
場合 2．\( A \) が可逆な \( k \times k \) 主小行列をもつとする。
一般性を失うことなく， \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \) であり，ある \( 1 \le k \lt n \) に対して \( A_{11} \in M_k \) が可逆であると仮定できる。
このとき，Schur 補行列 \( B = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \) は可逆である。
帰納法の仮定より，可逆な対角行列 \( D_1 \in M_k \)，\( D_2 \in M_{n-k} \) が存在して，\( A_{11}D_1 \) と \( BD_2 \) はそれぞれ相異なる非零固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \)，\( \lambda_{k+1}, \ldots, \lambda_n \) をもつ。
したがって，これらは対角化可能であり，可逆行列 \( S_1 \in M_k \)，\( S_2 \in M_{n-k} \) が存在して， \( S_1A_{11}D_1S_1^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_k) \)， \( S_2BD_2S_2^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_{k+1}, \ldots, \lambda_n) \) となる。\( D_{r,s} = rD_1 \oplus sD_2 \) とおく。
適当な \( r, s \) を選んで \( AD_{r,s} \) が相異なる固有値をもつことを示せばよい。
Geršgorin の円板定理を用いると，十分大きな \( r > 0 \) と十分小さな \( s > 0 \) を選ぶことで，対応する円板が互いに交わらず，その結果 \( AD_{r,s} \) は相異なる固有値をもつことが従う。これで証明は完了である。
謝辞
Choi の研究は NSERC の助成を受けた。
Huang の研究は HK RGC の助成を受けた。
Li の研究は USA NSF および HK RGC の助成を受けた。
Sze の研究は HK RGC の助成を受けた。
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