正規行列（Normal Matrices）
ユニタリ類似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対称行列が含まれます。
定義(正規行列)
正規行列の定義
行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が正規であるとは、\( AA^* = A^*A \) を満たす、すなわち、\( A \) がその共役転置と可換であることを意味します。
関連した定義
種々の行列の定義
\(A \in M_n(F)\) に対して、
- 対称行列（symmetric）：\( A^T = A \)
- 反対称行列（skew symmetric）：\( A^T = -A \)
- 直交行列（orthogonal）：\( A^T A = I \)
また、複素数体上の行列 \(A \in M_n(\mathbb{C})\) については、
- エルミート行列（Hermitian）：\( A^* = A \)
- 反エルミート行列（skew Hermitian）：\( A^* = -A \)
- ユニタリ行列（unitary）：\( A^* A = I \)
- 正規行列（normal）：\( A^* A = A A^* \)
と定義されます。
ユニタリ類似
行列 \( A \) が \( B \) にユニタリ類似である（unitarily similar）とは、次の条件を満たすときです。
A = UBU^{*}ここで、\( U \in M_n \) はユニタリ行列です（すなわち、\( U^{*}U = UU^{*} = I \) を満たします）。
ユニタリ対角化可能
行列 \( A \) がユニタリ対角化可能である（unitarily diagonalizable）とは、ユニタリ類似である対角行列 \( D \) が存在するときです。
A = UDU^{*}定理 1.3.7.
行列 \( A \in M_n \) が与えられたとする。次の形のブロック行列に相似である：
\begin{bmatrix}
\Lambda& C \\
0 & D
\end{bmatrix}, \quad \\ \Lambda= \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_k), \quad \\ D \in M_{n-k}, \quad 1 \leq k < n
このとき、\( A \) がこのような形に相似であるための必要十分条件は、\( \mathbb{C}^n \) において、固有ベクトルである互いに線形独立な \( k \) 個のベクトルが存在することである。
また、行列 \( A \) が対角化可能であることと、互いに線形独立な \( n \) 個の固有ベクトルが存在することは同値である。
もし \( x^{(1)}, \ldots, x^{(n)} \) が \( A \) の線形独立な固有ベクトルであり、\( S = [x^{(1)} \ \cdots\ x^{(n)}] \) とすれば、
S^{-1} A S
は対角行列となる。
さらに、もし \( A \) が \( \begin{bmatrix}\Lambda& C \\0 & D\end{bmatrix} \) の形の行列に相似であるならば、行列 \( \Lambda\) の対角成分は \( A \) の固有値である。また、もし \( A \) が対角行列 \( \Lambda\) に相似であるならば、その対角成分はすべて \( A \) の固有値である。
練習問題
練習（複素スカラー倍）
行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が正規であり、\( \alpha \in \mathbb{C} \) とするとき、\( \alpha A \) も正規であることを示しなさい。つまり、正規行列のクラスは複素スカラー倍で閉じています。
練習（ユニタリ類似）
行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が正規であり、行列 \( B \) が \( A \) とユニタリ類似であるとき、\( B \) も正規であることを示しなさい。つまり、正規行列のクラスはユニタリ類似で閉じています。
練習（直和）
行列 \( A \in \mathbb{M}_n \)、\( B \in \mathbb{M}_m \) が共に正規であるとき、直和 \( A \oplus B \in \mathbb{M}_{n+m} \) も正規であることを示しなさい。
練習（各成分行列）
\( A \oplus B \in \mathbb{M}_{n+m} \) が正規であるとき、各成分行列 \( A \in \mathbb{M}_n \)、\( B \in \mathbb{M}_m \) が正規であることを示しなさい。
練習（正規行列の例）
複素数 \( a, b \in \mathbb{C} \) に対して、次の行列が正規であり、固有値が \( a \pm ib \) であることを示しなさい。
\begin{bmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{bmatrix}
練習（ユニタリ行列）
すべてのユニタリ行列が正規であることを示しなさい。
練習（エルミート行列）
すべてのエルミート行列および反エルミート行列が正規であることを示しなさい。
練習（固有の例）
次の行列が正規であること、かつこの行列の任意のスカラー倍がユニタリでもエルミートでも反エルミートでもないことを確認しなさい。
A = \begin{bmatrix}
1 & e^{i\pi/4} \\
-e^{i\pi/4} & 1
\end{bmatrix}
練習（対角行列）
なぜすべての対角行列が正規であるのかを説明しなさい。対角行列がエルミートである場合、なぜその要素は実数でなければならないのかも説明しなさい。
練習（応用）
ユニタリ、エルミート、反エルミート各クラスがユニタリ類似で閉じていることを示しなさい。また、行列 \( A \) がユニタリで \( |\alpha| = 1 \) のとき、\( \alpha A \) もユニタリであることを示しなさい。行列 \( A \) がエルミートで \( \alpha \) が実数のとき、\( \alpha A \) もエルミートであることを示しなさい。同様に、\( A \) が反エルミートで \( \alpha \) が実数なら、\( \alpha A \) も反エルミートであることを示しなさい。
練習（応用）
エルミート行列の主対角成分が実数であること、反エルミート行列の主対角成分が純虚数であることを示しなさい。実反対称行列の主対角成分はどうなるかを考察しなさい。
練習（応用）
定理1.3.7 の証明を復習し、行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、各固有ベクトルが正規直交系をなす \( \mathbb{C}^n \) のベクトル集合であることを結論づけなさい。
正規行列の幾何的な解釈
正規行列の定義式 \( AA^* = A^*A \) を理解し活用するためには、幾何的な解釈を意識することが有益です。行列 \( A = [c_1 \dots c_n] \)、\( A^T = [r_1 \dots r_n] \) のように列ベクトルおよび行ベクトルに分割すると、正規性は以下の条件と同値です：
c_i^* c_j = r_i^* r_j \quad \text{for all } i, j = 1, \dots, n
特に、
\|c_i\|^2 = c_i^* c_i = r_i^* r_i = \|r_i\|^2
より、各列ベクトルのユークリッドノルムは対応する行ベクトルのノルムと等しくなります。列がゼロベクトルである場合、対応する行もゼロベクトルになります。
もし \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が実正規行列であれば、
c_i^T c_j = \langle c_i, c_j \rangle = \langle r_i, r_j \rangle = r_i^T r_j
が任意の \( i, j \) について成り立ちます。列 \( i, j \) がゼロでないとき、対応する行もゼロでなく、次の式からわかるように：
\frac{\langle c_i, c_j \rangle}{\|c_i\|\|c_j\|} = \frac{\langle r_i, r_j \rangle}{\|r_i\|\|r_j\|}
これは、行列 \( A \) の列ベクトル間の角度と行ベクトル間の角度が一致することを意味します。
正規行列においては、ゼロの行や列だけでなく、特定のゼロブロックにも特別な意味があります。
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