2.4問題（シュールの三角化定理の帰結）

問題

2.4.P1

行列 \( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( n \) 個持つと仮定する。式 (2.4.9.2) を用いて、ある \(\delta > 0\) が存在し、すべての行列 \( B = [b_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) で

\sum_{i,j=1}^n |a_{ij} - b_{ij}|^2 < \delta

を満たすものは、異なる固有値を \( n \) 個持つことを示せ。さらに、固有値が異なる行列の集合は \(\mathbb{M}_n\) の開集合であることを結論付けよ。

2.4.P2

なぜ上三角行列の階数（rank）は、その非零の主対角成分の数以上であるか説明せよ。行列 \( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) がちょうど \( k \geq 1 \) 個の非零固有値 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) を持つとする。\( A = U T U^* \) と書け、ここで \( U \) はユニタリ行列、\( T = [t_{ij}] \) は上三角行列である。以下を示せ。

• 階数 \( \mathrm{rank}\, A \geq k \) であり、\( A \) が対角化可能なとき等号成立。
• 不等式
  

\left| \prod_{i=1}^k \lambda_i \right|^2 \leq k \sum_{i=1}^k |\lambda_i|^2 = k \sum_{i=1}^n |t_{ii}|^2 \leq k \sum_{i,j=1}^n |t_{ij}|^2 = k \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2

• このことから

\mathrm{rank}\, A \geq \frac{|\mathrm{tr}\, A|^2}{\mathrm{tr}\, A^* A}

が成り立ち、等号成立は \( T = a I_k \oplus 0_{n-k} \)（ただし \( a \in \mathbb{C}, a \neq 0 \)）のときに限る。

2.4.P3

式 (2.4.3.2) の証明は複素行列が固有値を持つことに依存しているが、特性多項式の定義や置換 \( p_A(t) \to p_A(A) \) は固有値や複素数体の特性を必要としない。実際、ケイリー・ハミルトンの定理は、単位元を持つ可換環の元からなる行列に対しても成立する。可換環の例として、整数環の剰余類環（素数のときは体）、複数の形式的未定元を持つ複素係数多項式環などがある。以下の証明を詳述せよ。証明で用いる代数演算は加算・乗算のみで、除算や多項式方程式の根は使わないことに注意。

1. 基本恒等式
   

   (t I - A)(\mathrm{adj}(t I - A)) = \det(t I - A) I = p_A(t) I
   

   を出発点とし、次の形に書く。

   p_A(t) I = I t^n + a_{n-1} I t^{n-1} + a_{n-2} I t^{n-2} + \cdots + a_1 I t + a_0 I
   

   （\( t \) に関する次数 \( n \) の多項式で、係数はスカラー行列）

2. なぜ \( \mathrm{adj}(t I - A) \) は各成分が次数最大 \( n-1 \) の多項式となる行列か説明し、次の形に書けることを示せ。
   

   \mathrm{adj}(t I - A) = A_{n-1} t^{n-1} + A_{n-2} t^{n-2} + \cdots + A_1 t + A_0
   

   ここで \( A_0 = (-1)^{n-1} \mathrm{adj} A \) で、各 \( A_k \) は \( A \) の成分に関する多項式関数の成分を持つ \( n \times n \) 行列。

3. 式 (2.4.13) を用いて積
   

   (t I - A)(\mathrm{adj}(t I - A))
   

   を計算し、

   A_{n-1} t^n + (A_{n-2} - A A_{n-1}) t^{n-1} + \cdots + (A_0 - A A_1) t - A A_0
   

   と表せることを示せ。

4. 式 (2.4.12) と (2.4.14) の対応する係数を比較し、次の \( n+1 \) 個の方程式を得よ。
   

   A_{n-1} = I \\
   A_{n-2} - A A_{n-1} = a_{n-1} I \\
   \vdots \\
   A_0 - A A_1 = a_1 I \\
   - A A_0 = a_0 I
   

5. 各 \( k = 1, \ldots, n \) について、(2.4.15) の第 \( k \) 式に左から \( A_{n-k+1} \) を掛け、全ての \( n+1 \) 式を足し合わせ、ケイリー・ハミルトンの定理 \( 0 = p_A(A) \) を得よ。
6. 各 \( k = 1, \ldots, n-1 \) について、(2.4.15) の第 \( k \) 式に左から \( A_{n-k} \) を掛け、最初の \( n \) 式のみ足し合わせ、次の恒等式を得よ。
   

   \mathrm{adj} A = (-1)^{n-1} ( A_{n-1} + a_{n-1} A_{n-2} + \cdots + a_2 A + a_1 I )
   

   ここで \( \mathrm{adj} A \) は多項式 \( p_A(t) \) の係数（\( a_0 = (-1)^n \det A \) を除く）を逆順に並べたものと一致する多項式行列である。

7. 式 (2.4.15) を用いて、(2.4.13) の右辺の行列係数が
   

   A_{n-1} = I, \quad
   A_{n-k-1} = A_k + a_{n-1} A_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1} A + a_{n-k} I
   

   （\( k = 1, \ldots, n-1 \)）であることを示せ。

2.4.P4

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が交換する（すなわち \( AB = BA \)）と仮定する。なぜ \( B \) が \(\mathrm{adj}\, A\) と交換し、また \(\mathrm{adj}\, A\) が \(\mathrm{adj}\, B\) と交換するか説明せよ。さらに、\( A \) が正則であれば、\( B \) が \( A^{-1} \) とも交換することを導け。

2.4.P5

次の行列を考える。

\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}

なぜ任意に対角化不可能な行列が、ある対角化可能な行列に任意に近い位置に存在しうるのか説明せよ。さらに、(2.4.P1) を用いて、もし対象行列が異なる固有値を持つならば、そうならないことを説明せよ。

2.4.P6

以下の行列を考える。

A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}, \quad
B =
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 2 \\
-1 & -2 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}

すべてのスカラー \( a, b \in \mathbb{C} \) に対して、スペクトルは

\sigma(aA + bB) = \{ a - 2b, \; 2a - 2b, \; 3a + b \}

であるが、\( A \) と \( B \) は同時に上三角行列に相似変換できない。\( AB \) の固有値は何か？

2.4.P7

(2.3.P6) の判定法を用いて、(2.4.8.4) の2つの行列が同時に上三角化できないことを示せ。また同じ検査を (2.4.P6) の2つの行列に適用せよ。

2.4.P8

McCoyの定理の精神に則った観察は、2つの行列がユニタリ相似でないことを示すのに有効な場合がある。複素係数の2つの非可換変数の多項式 \( p(t, s) \) を考え、行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) がユニタリ相似であり、\( A = U B U^* \) （\( U \) はユニタリ）とする。なぜ

p(A, A^*) = U p(B, B^*) U^*

となるか説明せよ。これより、\( A \) と \( B \) がユニタリ相似ならば、任意の複素多項式 \( p(t,s) \) について

\mathrm{tr}\, p(A, A^*) = \mathrm{tr}\, p(B, B^*)

が成立する。これが (2.2.6) とどのように関連するか説明せよ。

2.4.P9

単項式多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) を零点 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を持つとする。零点の \( k \) 次モーメントを \(\mu_k = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k\)（特に \(\mu_0 = n\)）と定める。次のニュートンの恒等式の証明を詳述せよ。

k a_{n-k} + a_{n-k+1} \mu_1 + a_{n-k+2} \mu_2 + \cdots + a_{n-1} \mu_{k-1} + \mu_k = 0, \quad k=1,2,\ldots,n-1

a_0 \mu_k + a_1 \mu_{k+1} + \cdots + a_{n-1} \mu_{n+k-1} + \mu_{n+k} = 0, \quad k=0,1,2,\ldots

まず、\(|t| > R = \max_i |\lambda_i|\) のとき、\((t - \lambda_i)^{-1} = t^{-1} + \lambda_i t^{-2} + \lambda_i^2 t^{-3} + \cdots\) となり、

f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{t - \lambda_i} = n t^{-1} + \mu_1 t^{-2} + \mu_2 t^{-3} + \cdots

が成立することを示せ。つぎに \( p'(t) = p(t) f(t) \) を示し、係数比較を行え。これにより次数 \( n \) の単項式多項式の零点の最初の \( n \) 個のモーメントがその係数を一意に定めることがわかる。ニュートンの恒等式の行列解析的アプローチは (3.3.P18) を参照。

2.4.P10

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が同じ特性多項式（従って同じ固有値）を持つことは、すべての \( k=1,2,\ldots,n \) について

\mathrm{tr}\, A^k = \mathrm{tr}\, B^k

が成立することと同値である。これより、\( A \) が零行列的（nilpotent）であることはすべての \( k \) について

\mathrm{tr}\, A^k = 0

であることと同値である。

2.4.P11

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とそれらの交換子 \( C = AB - BA \) を考える。

1. \(\mathrm{tr} C = 0\) を示せ。
2. 行列
   

   A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
   B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
   

   のとき、交換子は必ずしも零行列的でない（すなわち非零固有値を持つことがある）が、その固有値の和は必ずゼロであることを示せ。

3. 交換子の階数が1以下のとき、零行列的であることを示せ。
4. 交換子の階数が0のとき、\( A, B \) は同時にユニタリ上三角化可能であることを説明せよ。
5. 交換子の階数が1のとき、Laffeyの定理により \( A, B \) は相似変換により同時に上三角化可能であることを示せ。以下は Laffey の定理の証明の概略である。

\( A \) を特異行列（必要に応じて \( A - \lambda I \) に置き換える）と仮定する。もし \( A \) の核空間が \( B \)-不変なら、それは共通の非自明な不変部分空間となり、\( A, B \) は (1.3.17) の形式のブロック行列に同時に相似変換可能である。もしそうでなければ、ある非零ベクトル \( x \) が存在し \( A x = 0 \) かつ \( A B x \neq 0 \) となる。すると \( C x = A B x \) なので、非零ベクトル \( z \) が存在して \( C = A B x z^T \) と書ける。任意のベクトル \( y \) に対し、\((z^T y) A B x = C y = A B y - B A y\) であり、これより \( B A y = A B (y - (z^T y) x) \)、したがって範囲について \( \mathrm{range}(B A) \subset \mathrm{range}(A B) \subset \mathrm{range}(A) \) となり、範囲 \(\mathrm{range}(A)\) は \( B \)-不変である。ゆえに \( A, B \) は (1.3.17) 形式のブロック行列に同時に相似変換可能である。

ここで

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}

であり、\( A_{11}, B_{11} \in \mathbb{M}_k \), \( 1 \le k < n \) とする。このとき交換子は

C = \begin{pmatrix} A_{11} B_{11} - B_{11} A_{11} & X \\ 0 & A_{22} B_{22} - B_{22} A_{22} \end{pmatrix}

であり、階数は1である。交換子の対角ブロックの少なくとも一方が零行列なので (2.3.3) を適用できる。もしある対角ブロックの階数が1で、そのサイズが1より大きければ同様の縮約を繰り返す。1×1の対角ブロックは階数1を持たない。

2.4.P12

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) と交換子 \( C = AB - BA \) を考える。この問題では、\( C \) が \( A \) または \( B \)、あるいは両方と交換する場合のいくつかの帰結を調べる。

1. \( C \) が \( A \) と交換するとき、なぜすべての \( k = 2, \ldots, n \) に対して

   \mathrm{tr} C^k = \mathrm{tr}(C^{k-1}(AB - BA)) = \mathrm{tr}(A C^{k-1} B - C^{k-1} B A) = 0
   

   が成り立つか説明せよ。さらに (2.4.P10) から Jacobson の補題を導け：\( C \) は \( A \) または \( B \) と交換するならば零行列的（nilpotent）である。

2. \( n=2 \) のとき、\( C \) が \( A \) と \( B \) の両方と交換することと、\( C = 0 \) （すなわち \( A \) と \( B \) が交換すること）が同値であることを示せ。

3. \( A \) が対角化可能ならば、\( C \) が \( A \) と交換することと \( C=0 \) が同値であることを示せ。

4. \( A, B \) が「準交換」(quasicommute) するとき（すなわち両方が \( C \) と交換する場合）、2つの非可換変数の任意の多項式 \( p(s,t) \) について、\( p(A,B) \) が \( C \) と交換することを示せ。さらに (2.4.8.1) を用い、(a) の結果から \( p(A,B) C \) が零行列的であることを示せ。

5. \( A, B \) が準交換するとき、(2.4.8.7) を用いて \( A, B \) が同時に三角化可能であることを示せ。これは「小さなMcCoyの定理」として知られている。

6. \( n=2 \) とする。もし \( C \) が \( A \) と交換するならば、(3.2.P32) により \( A, B \)（したがって \( B, C \) も）同時に三角化可能である。さらに、\( C^2=0 \) であることと \( A, B \) が同時に三角化可能であることは同値であることを示せ。

7. \( n=3 \) の場合は異なる。行列

   A =
   \begin{pmatrix}
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 0
   \end{pmatrix}, \quad
   B =
   \begin{pmatrix}
   0 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 \\
   1 & 0 & 0
   \end{pmatrix}
   

   について以下を示せ。

   1. \( A \) は \( C \) と交換するので、\( A \) と \( C \) は同時に三角化可能である。
   2. \( B \) は \( C \) と交換しない。
   3. \( B \) と \( C \)（ゆえに \( A \) と \( B \) も）は同時に三角化可能でない。

8. \( n=3 \) の場合、Laffey の別の定理によれば、\( A, B \) は同時に三角化可能であることと、\( C, AC^2, BC^2 \) と少なくとも一つが \( A^2 C^2, ABC^2, B^2 C^2 \) のいずれかが零行列的であることが同値である。これより、\( C^2=0 \) なら \( A, B \) は同時三角化可能であることを導け。さらに、\( C^3=0 \) が \( A, B \) の同時三角化可能性を保証しない例を示せ。

2.4.P13

線形行列方程式 \( A X - X B = C \) に関する (2.4.4.1) の別証明の詳細を示せ。行列 \( A \in \mathbb{M}_n \), \( B \in \mathbb{M}_m \) は共通の固有値を持たないとする。線形変換 \( T_1, T_2 : \mathbb{M}_{n,m} \to \mathbb{M}_{n,m} \) をそれぞれ

T_1(X) = A X, \quad T_2(X) = X B

で定義する。\( T_1, T_2 \) は可換であり、(2.4.8.1) から \( T = T_1 - T_2 \) の固有値は \( T_1 \) と \( T_2 \) の固有値の差であることを導け。\( \lambda \) が \( T_1 \) の固有値であることは、\( AX - \lambda X = 0 \) となる非零行列 \( X \) が存在することと同値であり、それは \( \lambda \) が \( A \) の固有値であることと同値である（\( X \) の各非零列は対応する固有ベクトル）。したがって \( T_1 \) と \( A \) は同じスペクトルを持ち、同様に \( T_2 \) と \( B \) も同じスペクトルを持つ。ゆえに、\( A \) と \( B \) が共通の固有値を持たなければ \( T \) は正則である。さらに、\( \lambda \) に対応する \( A \) の固有ベクトル \( x \) と、\( B \) の固有値 \( \mu \) に対応する左固有ベクトル \( y \) に対し、\( X = x y^* \) とすると

T(X) = ( \lambda - \mu ) X

が成り立ち、\( T \) のスペクトルは \( A \) と \( B \) の固有値の差の全体集合であることがわかる。

2.4.P14

行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) がランク \( r \) であるとする。\( A \) はユニタリ相似変換により、最初の \( r \) 行が線形独立で残りの \( n-r \) 行が零行の上三角行列に変換できることを示せ。

2.4.P15

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) に対し、2つの複素変数の多項式を

p_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A)

と定める。

1. \( A, B \) が同時に三角化可能で、\( A = S A_S S^{-1} \), \( B = S B_S S^{-1} \)、ここで \( A_S, B_S \) は上三角行列、対角成分は

   \mathrm{diag} A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n), \quad \mathrm{diag} B = (\beta_1, \ldots, \beta_n)
   

   であるとき、次が成り立つことを示せ。

   p_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A) = \prod_{i=1}^n (t \beta_i - s \alpha_i)
   

2. \( A, B \) が交換すると仮定する。このとき、

   p_{A,B}(B,A) = \prod_{i=1}^n (\beta_i A - \alpha_i B) = S \left( \prod_{i=1}^n (\beta_i A_S - \alpha_i B_S) \right) S^{-1}
   

   となり、上三角行列 \(\beta_i A - \alpha_i B\) の \(i,i\) 成分がなぜゼロか説明せよ。

3. 補題 2.4.3.1 を使って、\( A, B \) が交換するとき \( p_{A,B}(B,A) = 0 \) であることを示せ。この恒等式はカイリー–ハミルトンの定理の二変数一般化であることを説明せよ。

4. \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が交換するとする。\( n=2 \) の場合、

   p_{A,B}(B,A) = (\det B) A^2 - (\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} B)) A B + (\det A) B^2
   

   を示せ。\( n=3 \) の場合は

   p_{A,B}(B,A) = (\det B) A^3 - (\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} B)) A^2 B + (\mathrm{tr}(B \, \mathrm{adj} A)) A B^2 - (\det A) B^3
   

   を示せ。\( B = I \) の場合はこれらの恒等式は何を意味するか考察せよ。

5. 例 2.4.8.3 と 2.4.8.4 の行列に対して \(\det(t B - s A)\) を計算し、議論せよ。

6. なぜ (b) では交換性を仮定し、(a) ではしなかったか説明せよ。

2.4.P16

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) の固有値を \( \lambda \) とする。

1. \( \mu = a + d - \lambda \) も \( A \) の固有値である理由を説明せよ。

2. \( (A - \lambda I)(A - \mu I) = (A - \mu I)(A - \lambda I) = 0 \) であることを説明せよ。

3. \( \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \) の任意の非零列ベクトルは、\( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する固有ベクトルであり、任意の非零行ベクトルは \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの随伴転置であることを導け。

4. \( \begin{pmatrix} \lambda - d & b \\ c & \lambda - a \end{pmatrix} \) の任意の非零列ベクトルは、\( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する固有ベクトルであり、任意の非零行ベクトルは \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの随伴転置であることを導け。

2.4.P17

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A, B \) によって生成される部分代数 \( \mathcal{A}(A,B) \) を考える（(1.3.P36)参照）。これは \( \mathbb{M}_n \) の部分空間であり、ゆえに次が成り立つ：

\dim \mathcal{A}(A,B) \leq n^2

\( n=2 \), \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( B = A^T \) の場合に \( \dim \mathcal{A}(A,B) = n^2 \) となることを示せ。また、カイリー–ハミルトンの定理を用いて、任意の \( A \in \mathbb{M}_n \) について \( \dim \mathcal{A}(A, I) \leq n \) であることを示せ。さらに、Gerstenhaber の定理により、\( A, B \) が交換するときは \( \dim \mathcal{A}(A,B) \leq n \) であることを示せ。

2.4.P18

行列 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \)、ただし \( A_{11} \in \mathbb{M}_k \), \( 1 \leq k < n \), \( A_{22} \in \mathbb{M}_{n-k} \) とする。\( A \) が零行列的（nilpotent）であることと、\( A_{11} \) と \( A_{22} \) の両方が零行列的であることが同値であることを示せ。

2.4.P19

\( n \geq 3 \), \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。

1. \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \), \( B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \)、ただし \( A_{11}, B_{11} \in \mathbb{M}_k \)、\( A_{22}, B_{22} \in \mathbb{M}_{n-k} \) とする。このとき、\( A, B \) が同時に上三角化可能であることは、(i) \( A_{11}, B_{11} \) が同時に上三角化可能であること、かつ (ii) \( A_{22}, B_{22} \) が同時に上三角化可能であることと同値であることを示せ。

2. \( m \geq 3 \)、集合 \( F = \{ A_1, \ldots, A_m \} \subset \mathbb{M}_n \) を考え、各 \( A_j = \begin{pmatrix} A_{j1} & A_{j2} \\ 0 & A_{j3} \end{pmatrix} \) で \( A_{j1} \in \mathbb{M}_k \) とする。このとき、\( F \) が同時に上三角化可能であることは、集合 \( \{ A_{11}, \ldots, A_{m1} \} \) と \( \{ A_{13}, \ldots, A_{m3} \} \) がそれぞれ同時に上三角化可能であることと同値であることを示せ。

2.4.P20

\( A, B \in \mathbb{M}_n \) で \( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とする。2つの非可換変数の多項式 \( p(s,t) \) を考える。

1. \( p(0,0) = 0 \) のとき、\( A p(A,B) B = 0 \) であり、したがって \( (p(A,B) C)^2 = 0 \) であることを示せ。

2. \( C^2 = 0 \) を示せ。

3. (2.4.8.7) を用いて、\( A \) と \( B \) が同時に上三角化可能であることを示せ。

4. 行列

   \begin{pmatrix}
   -3 & 3 \\
   -4 & 4
   \end{pmatrix}
   \quad \text{と} \quad
   \begin{pmatrix}
   2 & -1 \\
   2 & -1
   \end{pmatrix}
   

   は同時に上三角化可能か？

2.4.P21

\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。ハンケル行列

K = [\operatorname{tr} A^{i+j-2}]_{i,j=1}^n

は \( A \) に対応するモーメント行列である。常に \( A^0 = I \) とし、\( \operatorname{tr} A^0 = n \) とする。

1. \( V \in \mathbb{M}_n \) をヴァンデルモンド行列（(0.9.11.1)参照）とし、各列は

[1, \lambda_j, \lambda_j^2, \ldots, \lambda_j^{n-1}]^T, \quad j=1,\ldots,n

2. であるとき、次を示せ。

K = V V^T

3. \( \det K = (\det V)^2 = \prod_{i
4. \( A \) の固有値がすべて異なることと、モーメント行列 \( K \) が正則（非特異）であることは同値であることを結論づけよ。
5. \( K \)（ゆえに \( A \) の判別式）は \( A \) の相似変換に不変である理由を説明せよ。
6. 2×2行列

   A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2
   

   のモーメント行列の行列式を計算し、(1.2.4b)の演習で計算した \( A \) の判別式と一致することを確認せよ。

7. 以下の実行列

   A = \begin{pmatrix}
   a & b & 0 \\
   0 & 0 & c \\
   d & -e & 0
   \end{pmatrix}
   \quad (a,b,c,d,e > 0)
   

   のモーメント行列は

   K = \begin{pmatrix}
   3 & a & a^2 - 2ce \\
   a & a^2 - 2ce & a^3 + 3 b c d \\
   a^2 - 2ce & a^3 + 3 b c d & a^4 + 4 b d a c + 2 e^2 c^2
   \end{pmatrix}
   

   行列式は

   \det K = -27 b^2 c^2 d^2 - 4 c^3 e^3 - 4 a^4 c e - 8 a^2 c^2 e^2 - 4 a^3 b c d - 36 a b c^2 d e
   

   であり、\( A \) は常に3つの異なる固有値を持つことを説明せよ。

2.4.P22

\( A \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( \mu_1, \ldots, \mu_d \)（重複度はそれぞれ \( \nu_1, \ldots, \nu_d \)）を持つとする。モーメント行列の次数 \( m \) を

K_m = [\operatorname{tr} A^{i+j-2}]_{i,j=1}^m

とし、\( m=1,2,\ldots \)、かつ \( m \leq n \) の場合は前問題のモーメント行列 \( K \) の先頭主部分行列とする。ベクトルを

v^{(m)}_j = [1, \mu_j, \mu_j^2, \ldots, \mu_j^{m-1}]^T, \quad j=1,\ldots,d

と定め、行列

V_m = [v^{(m)}_1, \ldots, v^{(m)}_d]

を作る。また対角行列 \( D = \mathrm{diag}(\nu_1, \ldots, \nu_d) \in \mathbb{M}_d \) とする。

1. \( m \leq d \) のとき \( V_m \) の行ランクは \( m \)、\( m \geq d \) のとき列ランクは \( d \) であることを示せ。
2. \( K_m = V_m D V_m^T \) であることを示せ。
3. \( 1 \leq p < q \) のとき、\( K_p \) は \( K_q \) の先頭主部分行列であることを示せ。
4. \( K_d \) は正則（非特異）であることを示せ。
5. \( m \geq d \) のとき、\( \mathrm{rank} K_m = d \) であることを示せ。
6. \( d = \max \{ m \geq 1 : K_m \text{ は正則} \} \) であるが、\( p < d \) のとき \( K_p \) が特異である場合もあることを示せ。
7. \( K_d \) は正則で、\( K_{d+1}, \ldots, K_n, K_{n+1} \) はすべて特異であることを示せ。
8. \( K_n = K \) は前問題のモーメント行列であることを示せ。
9. \( \mathrm{rank} K \) は \( A \) の異なる固有値の個数に等しいことを示せ。

2.4.P23

\( T = [t_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) が上三角行列のとき、\( \mathrm{adj} T = [\tau_{ij}] \) も上三角行列であり、対角成分は

\tau_{ii} = \prod_{j \neq i} t_{jj}

であることを示せ。

2.4.P24

\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とするとき、余因子行列 \( \mathrm{adj} A \) の固有値は

\prod_{j \neq i} \lambda_j, \quad i=1,\ldots,n

であることを示せ。

2.4.P25

\( A, B \in \mathbb{M}_2 \)、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。

1. \( A \) は次の形の行列にユニタリ相似であることを示せ。

   \begin{pmatrix}
   \lambda_1 & x \\
   0 & \lambda_2
   \end{pmatrix}, \quad x \geq 0, \quad x^2 = \operatorname{tr} (A A^*) - |\lambda_1|^2 - |\lambda_2|^2
   

2. \( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることは、次がすべて成立するときに限ることを示せ。

   \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B, \quad \operatorname{tr} A^2 = \operatorname{tr} B^2, \quad \operatorname{tr} A A^* = \operatorname{tr} B B^*
   

2.4.P26

\( B \in \mathbb{M}_{n,k} \), \( C \in \mathbb{M}_{k,n} \) とする。任意の多項式 \( p(t) \) について次を示せ。

B C p(B C) = B p(C B) C

2.4.P27

\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A = B C \)、かつ \( B, C^T \in \mathbb{M}_{n,k} \) とする。このとき、(2.4.3.2) を用いて次数が高々 \( k+1 \) の多項式 \( q(t) \) が存在して \( q(A) = 0 \) を満たすことを示せ。

2.4.P28

\( A \in \mathbb{M}_n \) が特異行列で、\( r = \mathrm{rank} A \) とする。このとき次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( p(A) = 0 \) を満たすことを示せ。

2.4.P29

\( A \in \mathbb{M}_n \)、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) は非零ベクトルで、\( A x = \lambda x \)、\( y^* A = \lambda y^* \) を満たすとする。ここで、\( \lambda \) は単純固有値とする。このとき、任意の \( \kappa \neq 0 \) について

A - \lambda I + \kappa x y^*

は正則（非特異）であることを示せ。

2.4.P30

\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( p(t) \) を次数が \( n \) より大きい多項式とする。ユークリッドの互除法（多項式の割り算）を用いて、

p(t) = h(t) p_A(t) + r(t)

ただし、\( r(t) \) の次数は \( n \) 未満（0の場合もあり得る）と表せることを説明せよ。このときなぜ

p(A) = r(A)

が成り立つかを説明せよ。

2.4.P31

\( A \in \mathbb{M}_n \) のすべての固有値がゼロであるならば、(2.4.3.2)を用いて \( A^n = 0 \) を証明せよ。

2.4.P32

\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( C = AB - BA \) とする。なぜ

\operatorname{tr} C \neq 0

であることはありえないか説明せよ。特に、\( c \neq 0 \) のとき \( C = c I \) は不可能であることを示せ。

2.4.P33

\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( p \) は正の整数とする。\( A \) がブロック上三角形行列で

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}

\( A_{11} \in \mathbb{M}_k \)、\( A_{22} \in \mathbb{M}_{n-k} \) は固有値を共有しないとする。もし \( B^p = A \) ならば、\( B \) は \( A \) に対応したブロック上三角形行列で

B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}, \quad B_{11}^p = A_{11}, \quad B_{22}^p = A_{22}

であることを示せ。

2.4.P34

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) に対して、明示的に計算をしてケイリー・ハミルトンの定理、

A^2 - (a + d) A + (ad - bc) I_2 = 0

を検証せよ。

2.4.P35

\( A \in \mathbb{M}_n(F) \) （\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）とする。\( A \) が \( \mathbb{M}_n(F) \) のすべてのユニタリ行列と可換であることと、\( A \) がスカラー行列であることが同値であることを (2.4.4.2) を用いて示せ。