2.4.11 完全な双直交性の原理

2.4.11 完全な双直交性の原理

双直交性の原理とは、異なる固有値に対応する左固有ベクトルと右固有ベクトルが直交することを意味します（1.4.7(a)参照）。ここでは、左・右固有ベクトルに関するあらゆる可能性について考察します。

定理 2.4.11.1

行列 \( A \in \mathbb{M}_n \)、単位ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \)、および複素数 \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) に対して次のことが成り立ちます。

(a)

もし \( Ax = \lambda x \)、\( y^*A = \mu y^* \)、かつ \( \lambda \ne \mu \) であれば、\( y^*x = 0 \) が成り立ちます。
ここで \( U = [x\; y\; u_3\; \dots\; u_n] \in \mathbb{M}_n \) がユニタリ行列であるとすると、

U^*AU =
\begin{bmatrix}
\lambda & * & * \\
0 & \mu & 0 \\
0 & * & A_{n-2}
\end{bmatrix}, \quad A_{n-2} \in \mathbb{M}_{n-2}

(b)

もし \( Ax = \lambda x \)、\( y^*A = \lambda y^* \)、かつ \( y^*x = 0 \) であれば、
\( U = [x\; y\; u_3\; \dots\; u_n] \in \mathbb{M}_n \) がユニタリ行列として、

U^*AU =
\begin{bmatrix}
\lambda & * & * \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & * & A_{n-2}
\end{bmatrix}, \quad A_{n-2} \in \mathbb{M}_{n-2}

また、このとき固有値 \( \lambda \) の代数的重複度（algebraic multiplicity）は 2 以上である。

(c)

もし \( Ax = \lambda x \)、\( y^*A = \lambda y^* \)、かつ \( y^*x \ne 0 \) であれば、
\( S = [x\; S_1] \in \mathbb{M}_n \) として、\( S_1 \) の列は \( y \) の直交補空間の任意の基底からなるとします。
このとき、\( S \) は正則（非特異）行列であり、\( S^{-∗} \) の第1列は \( y \) の非零スカラー倍となり、
\( S^{-1}AS \) は次のブロック形式をとります：

S^{-1}AS =
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 \\
0 & A_{n-1}
\end{bmatrix}, \quad A_{n-1} \in \mathbb{M}_{n-1}

このとき、幾何的重複度（geometric multiplicity）が 1 であれば、代数的重複度も 1 であることになります。
逆に、\( A \) が上記のようなブロック形式に相似であるなら、対応する左・右固有ベクトルは直交しません。

(d)

もし \( Ax = \lambda x \)、\( y^*A = \lambda y^* \)、かつ \( x = y \)（このような \( x \) を正規固有ベクトルと呼ぶ）ならば、
ユニタリ行列 \( U = [x\; U_1] \in \mathbb{M}_n \) に対して、\( U^*AU \) は次のブロック形式になります：

U^*AU =
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 \\
0 & A_{n-1}
\end{bmatrix}

証明の要点

• (a) 式 (2.3.1) における還元と比較すると、(2.4.11.2) の第2行のゼロ項は左固有ベクトルの影響による。すなわち、\( y^* A u_i = \mu y^* u_i = 0 \)（ただし \( i = 3, \dots, n \)）。
• (b) ゼロの配置は (a) と同様であり、理由も同じである。代数的重複度に関する主張は (1.2.P14) を参照。
• (c) 詳細は (1.4.7) および (1.4.12) を参照。
• (d) 式 (2.3.1) における還元と比較すると、(2.4.11.4) の第1行のゼロ項は \( x \) が左固有ベクトルでもあることによる。すなわち、\( x^* A U_1 = \lambda x^* U_1 = 0 \)。