2.4.10 階数1の摂動による固有値の変化

2.4.10 階数1の摂動による固有値の変化

ある行列の1つの固有値だけを任意に変化させ、他の固有値には影響を与えないようにできる場合があります。このような性質は、階数1の摂動によって実現されます。

定理 2.4.10.1（A. ブラウアー）

行列 \( A \in M_n \) が固有値 \( \lambda, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) を持ち、ベクトル \( x \neq 0 \) が \( Ax = \lambda x \) を満たしているとします。このとき、任意の \( v \in \mathbb{C}^n \) に対して、行列 \( A + x v^* \) の固有値は

\lambda + v^*x, \lambda_2, \ldots, \lambda_n

となります。

証明

まず、

\( \xi = \dfrac{x}{\|x\|_2} \)

とし、ユニタリ行列 \( U = [\xi\ u_2\ \ldots\ u_n] \) を考えます。すると定理 (2.3.1) の証明と同様に次のようになります：

U^* A U =
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 \\
0 & A_1
\end{bmatrix}

ここで \( A_1 \in M_{n-1} \) は固有値 \( \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) を持ちます。

次に、摂動項について考えます：

U^* x v^* U =
\begin{bmatrix}
\xi^* x \\
u_2^* x \\
\vdots \\
u_n^* x
\end{bmatrix}
v^* U
=
\begin{bmatrix}
\|x\|_2 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v^* \xi & v^* u_2 & \cdots & v^* u_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\|x\|_2 v^* \xi & * \\
0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v^* x & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}

したがって、

U^* (A + x v^*) U =
\begin{bmatrix}
\lambda + v^* x & 0 \\
0 & A_1
\end{bmatrix}

この行列の固有値は、

\lambda + v^* x,\ \lambda_2,\ \ldots,\ \lambda_n

となります。

この結果に関する別のアプローチについては、節 (1.2.8) を参照してください。