[行列解析2.7.P5]CS分解によるブロック特異値の関係

(2.7.P5)

2.7.問題5
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2.7.問題5

CS分解を用いて、(2.6.P19) における主張を証明せよ。

(2.6.P19)

\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11} \in M_k, U_{22} \in M_\ell\)、かつ \(k \le \ell\) とする。ブロック行列の特異値（非増加順）は次の関係式を満たす：
\sigma_i(U_{11}) = \sigma_i(U_{22}), \quad  \\
\sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21}) = \sqrt{1 - \sigma_{k-i+1}^2(U_{11})}, \quad \\
i = 1, \ldots, k
また、\(\sigma_i(U_{22}) = 1) が (i = k+1, \ldots, \ell) で成り立つ。

特に、(|\det U_{11}| = |\det U_{22}|) であり、(\det U_{12} U_{12}^* = \det U_{21}^* U_{21}\) が成り立つ。

ヒント

ユニタリ行列にCS分解を適用すると、中央ブロックは \( \cos\theta_i \) と \( \sin\theta_i \) を成分とする対角行列で表される。

特異値はユニタリ変換で不変であるため、各ブロックの特異値はこれらの値に一致する。さらに、\( k \le \ell \) のとき、余分な次元に対応して特異値 1 が現れることに注意する。

解答例

\( U \in M_{k+\ell} \) を

U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix}, \quad U_{11} \in M_k,\; U_{22} \in M_\ell, \quad k \le \ell

と分割する。\( U \) はユニタリであるから、CS分解により適当なユニタリ行列 \( V_1, V_2, W_1, W_2 \) が存在して

U = \begin{pmatrix} V_1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C & -S & 0 \\ S & C & 0 \\ 0 & 0 & I_{\ell-k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} W_1 & 0 \\ 0 & W_2 \end{pmatrix}^{*}

と表される。ただし

C = \mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_k), \quad S = \mathrm{diag}(\sin\theta_1,\dots,\sin\theta_k), \quad 0 \le \theta_i \le \frac{\pi}{2}

である。

特異値はユニタリ変換で不変であるから、各ブロックの特異値は中央行列の対応部分の特異値に一致する。

まず、\( U_{11} \) と \( U_{22} \) の特異値はともに \( \cos\theta_i \)（\( i=1,\dots,k \)）であり、さらに \( U_{22} \) には余分に \( \ell-k \) 個の特異値 1 が現れる。したがって \( \sigma_i(U_{11}) = \sigma_i(U_{22}) \)（\( i=1,\dots,k \)）であり、 \( \sigma_i(U_{22}) = 1 \)（\( i=k+1,\dots,\ell \)）である。

次に、\( U_{12} \) および \( U_{21} \) の特異値は \( \sin\theta_i \) である。特異値は非増加順に並べるので \( \sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21}) = \sin\theta_{k-i+1} \) である。ここで \( \sin\theta_j = \sqrt{1-\cos^2\theta_j} \) であり、\( \cos\theta_j = \sigma_j(U_{11}) \) であるから

\sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21}) = \sqrt{1 - \sigma_{k-i+1}^2(U_{11})}, \quad i=1,\dots,k

を得る。

特に、行列式の絶対値は特異値の積に等しいから \( |\det U_{11}| = \prod_{i=1}^k \cos\theta_i \) であり、同様に \( |\det U_{22}| = \prod_{i=1}^k \cos\theta_i \) である。よって \( |\det U_{11}| = |\det U_{22}| \) である。

また、 \( \det(U_{12}U_{12}^{*}) \) および \( \det(U_{21}^{*}U_{21}) \) はいずれも特異値の二乗の積 \( \prod_{i=1}^k \sin^2\theta_i \) に等しい。したがって \( \det U_{12} U_{12}^{*} = \det U_{21}^{*} U_{21} \) が成り立つ。