[行列解析2.7.P4]CS分解と相補的退化次数の一致

(2.7.P4)

2.7.問題4
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2.7.問題4

ユニタリ行列

U = \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix}

を考え、\( U_{11} \in M_p \)、\( U_{22} \in M_q \) とする。

このとき、\( U_{11} \) と \( U_{22} \) の退化次数（nullity）は等しく、また \( U_{12} \) と \( U_{21} \) の退化次数も等しいことをCS分解を用いて示せ。(0.7.5) と比較せよ。

0.7.5 相補零空間次元（complementary nullities）

\(A \in M_n(F)\) が可逆行列で、
\(\alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}\) を空でない部分集合とし、
\(|\alpha| = r\)、\(|\beta| = s\) とします。

このとき、相補零空間次元の法則は次のとおりです：
(0.7.5.1)
\text{nullity}(A[\alpha, \beta]) = \text{nullity}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c])\\
これは次の階数の恒等式と同値です：
(0.7.5.2)
\begin{align}
& \text{rank}(A[\alpha, \beta]) \notag \\
&= \text{rank}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c]) + r + s - n \notag \\
\end{align}\\
行と列を並び替えることで、\(A\) および \(A^{-1}\) を次のようにブロック形式で考えることができます(下記の解説参照)：
A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
このとき、(0.7.5.1) は次を意味します：
\text{nullity}(A_{11}) = \text{nullity}(B_{22})
この原理の要点は、\(A\) が可逆である限り、\(A_{11}\) の零空間の次元が \(A^{-1}\)の\(B_{22}\) に反映されることです。

同様に、
\(\text{nullity}(A_{12}) = \text{nullity}(B_{12})\)、
\(\text{nullity}(A_{21}) = \text{nullity}(B_{21})\)、
\(\text{nullity}(A_{22}) = \text{nullity}(B_{11})\) なども成り立ちます。

\(r + s = n\) のときは、
\(\text{rank}(A_{11}) = \text{rank}(B_{22})\)、
\(\text{rank}(A_{22}) = \text{rank}(B_{11})\) が成立します。

また、\(n = 2r = 2s\) のとき、
\(\text{rank}(A_{12}) = \text{rank}(B_{12})\)、
\(\text{rank}(A_{21}) = \text{rank}(B_{21})\) も成立します。

(0.7.5.2) より、\(n \times n\) 可逆行列の \(r \times s\) 部分行列の階数は少なくとも \(r + s - n\) である。
(0.7.5.2)
\begin{align}
& \text{rank}(A[\alpha, \beta]) \notag \\
&= \text{rank}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c]) + r + s - n \notag \\
\end{align}\\

ヒント

ユニタリ行列 \( U \) をブロック分割し、CS分解を適用する。CS分解では、各ブロックの特異値が \( \cos\theta_i \) と \( \sin\theta_i \) の組として現れる。したがって、あるブロックで特異値が 0 になる本数は、対応する他方のブロックでも同じ本数だけ 0 が現れることから、退化次数が一致することが分かる。

解答例

ユニタリ行列 \( U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \) を考え、 \( U_{11} \in M_p \)、\( U_{22} \in M_q \) とする。

\( U \) はユニタリであるから、適当なユニタリ行列 \( V_1, V_2, W_1, W_2 \) が存在して、CS分解により

U = \begin{pmatrix} V_1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C & -S \\ S & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} W_1 & 0 \\ 0 & W_2 \end{pmatrix}^{*}

と書ける。ただし \( C = \mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_r) \), \( S = \mathrm{diag}(\sin\theta_1,\dots,\sin\theta_r) \) であり、\( 0 \le \theta_i \le \frac{\pi}{2} \) である。

このとき、特異値はユニタリ変換によって不変であるから、各ブロックの特異値は中央行列の対応部分の特異値に一致する。

まず \( U_{11} \) の特異値は \( \cos\theta_i \) であり、\( U_{22} \) の特異値も同様に \( \cos\theta_i \) である。したがって、\( \cos\theta_i = 0 \) となる本数は両者で一致する。ゆえに \( \text{nullity}(U_{11}) = \text{nullity}(U_{22}) \) である。

同様に、\( U_{12} \) および \( U_{21} \) の特異値は \( \sin\theta_i \) である。したがって \( \sin\theta_i = 0 \) となる本数は両者で一致するから \( \text{nullity}(U_{12}) = \text{nullity}(U_{21}) \) である。

以上より、ユニタリ行列のブロックに対して、対角ブロック同士および非対角ブロック同士の退化次数はそれぞれ一致する。これは可逆行列に対する相補零空間次元の法則 (0.7.5) において、\( U^{-1} = U^{*} \) であることを用いた特別な場合とみなすことができる。