2.6.問題7
2.6.P7
同じサイズの2つの複素行列がユニタリ合同であるのは、特異値が一致する場合に限ることを示せ。
特異値とは
行列 \( A \in M_{n,m} \) を与える。
ここで \( q = \min\{m, n\} \) とし、さらに \(r=\mathrm{rank}\,A\) であるとする。
この時、ユニタリ行列 \( V \in M_n \) および \( W \in M_m \) と次のような正方対角行列 \( \Sigma_q \) が存在します。
(2.6.3.1)
\Sigma_q =
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{q}
\end{bmatrix}
(2.6.3.1)
\Sigma_q =
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{q}
\end{bmatrix}
ここで \(\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots \geq \sigma_{r} \gt 0 = \sigma_{r+1} = \cdots = \sigma_{q}\) であり、次が成り立ちます：
A = V \Sigma W^{*}
\(\Sigma \)は、次のように場合分けされます。
(2.6.3.2)
もし \( m = n \) ならば、
\Sigma =
\Sigma_q
\in M_{n}
もし \( m \gt n \) ならば、
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_q & 0
\end{bmatrix}
\in M_{n,m}
もし \( n \gt m \) ならば、
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_q \\
0
\end{bmatrix}
\in M_{n,m}
パラメータ \( \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r} \) を特異値と呼ぶ。
特異値は行列 \( AA^{*} \) の非零固有値を大きい順に並べ、その平方根を取った正の値です。
これらは、行列 \( A^{*}A \) の非零固有値を大きい順に並べたものと同じです。
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