[行列解析2.6.p40]

2.6.問題40

2.6.P40

(2.4.5.1) の表記を用い、\(T\) と \(T'\) がユニタリ合同であるとする。

(a) 各 \(i,j = 1, \ldots, d\) に対して、\(T_{ij}\) と \(T'_{ij}\) の特異値が同じである必要がある理由を説明せよ。

(b) \(n = 2\) の場合、この必要条件は何を意味するか。

また、なぜこの場合に必要かつ十分であるか。

(c) \(n = 4\)、\(d = 2\) とし、例として

T_{11} = T'_{11} = 
\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}、\\
T_{22} = T'_{22} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ 0 & 2\end{pmatrix}、\\
T_{12} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}、\\
T'_{11} = \begin{pmatrix}0 & 4 \\ 3 & 0\end{pmatrix}

とする。

この場合、(a) の必要条件が十分条件でない理由を説明せよ。

[行列解析2.6]ユニタリ同値と特異値分解

2.6ユニタリ同値と特異値分解2.6 ユニタリ同値と特異値分解ある行列 \(A\) が、\(n\) 次元複素ベクトル空間 \(V\) 上の線形変換 \(T : V \to V\) の基底表現であり、与えられた正規直交基底に関して表されている...

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2025.08.30