[行列解析2.6.p4]

2.6.問題4

2.6.P4

\(A, B \in M_{n,m}\) が同時に実対角または非負実対角行列にユニタリ合同できるのはいつか？

(a) \(AB^*\) および \(B^*A\) が両方エルミートであることと、ユニタリ行列 \(X \in M_n, Y \in M_m\) が存在して \(A = X \Sigma Y^*, B = X \Delta Y^*\)、\(\Sigma, \Delta \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) が対角で、\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは同値であることを示せ。

(b) \(A, B\) が実行列の場合、\(AB^T\) および \(B^T A\) が両方対称であることと、実直交行列 \(X \in M_n(\mathbb{R}), Y \in M_m(\mathbb{R})\) が存在して \(A = X \Sigma Y^T, B = X \Delta Y^T\)、\(\Sigma, \Delta \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) が対角で、\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは同値であることを示せ。

(c) (a)(b) の場合において、\(\Delta\) の対角成分を非負にできるのは、\(AB^*\) および \(B^*A\) のエルミート行列の固有値がすべて非負である場合に限ることを示せ。