[行列解析2.6.p36]

2.6.問題36

2.6.P36

\(A \in M_n\) がランク r を持ち、正の異なる特異値を \(s_1, \ldots, s_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \ldots, n_d\) とし、特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を \(V, W \in M_n\) がユニタリ、\(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d} \oplus 0_{n-r}\) とする。

(a) \(A\) が対称であることと、\(V = \bar W (S_1 \oplus \cdots \oplus S_d \oplus \tilde W)\) が成り立つことは同値である理由を説明せよ。

ここで \(\tilde W \in M_{n-r}\) はユニタリ、各 \(S_j \in M_{n_j}\) はユニタリかつ対称である。

(b) \(A\) の特異値が異なる場合（すなわち \(d \ge n-1\)）は、\(A\) が対称であることと、\(V = W \bar D\) が成り立つことは同値であり、ここで \(D \in M_n\) は対角ユニタリ行列である理由を説明せよ。