[行列解析2.6.p33]

2.6.問題33

\(A \in M_n\) の順序付き特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。

複合行列 \(C_r(A)\) の特異値は、全ての可能な積 \(\sigma_{i_1} \cdots \sigma_{i_r}\) （ただし \(1 \le i_1 \lt \cdots \lt i_r \le n\)）であることを示せ。

また、\(\mathrm{tr}(C_r(A) C_r(A)^*) = \mathrm{tr} C_r(AA^*) = S_r(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)\) が \(C_r(A)\) の特異値の二乗和になる理由を説明せよ（1.2.14 参照）。

特に、\(\mathrm{tr} C_2(AA^*) = \sum_{1 \le i < j \le n}