[行列解析2.6.p33]複合行列の特異値と基本対称式

2.6.P33

2.6.問題33

\(A \in M_n\) の順序付き特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。

複合行列 \(C_r(A)\) の特異値が、 \( \binom{n}{r} \)個の可能な積 \(\sigma_{i_1} \cdots \sigma_{i_r}\)（ただし \(1 \le i_1 \lt i_2 < \cdots \lt i_r \le n\)）であることを示せ。

また、

\mathrm{tr}(C_r(A) C_r(A)^*) = \mathrm{tr} C_r(AA^*) = S_r(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)

が \(C_r(A)\) の特異値の二乗和である理由を説明せよ（(1.2.14) を参照）。

特に、

\mathrm{tr} C_2(AA^*) = \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)

である。

さらに、なぜ \(\sigma_1 \cdots \sigma_r\) が \(C_r(A)\) の最大の特異値であるのかを説明せよ。

\(C_r(A)\) の固有値に関する関連する結果については (2.3.P12) を参照せよ。

特異値分解 \(A = U \Sigma V^*\) を用いると、複合行列は \(C_r(A) = C_r(U)\, C_r(\Sigma)\, C_r(V)^*\) と書ける。

\(C_r(U)\) と \(C_r(V)\) はユニタリであるため、特異値は \(C_r(\Sigma)\) の対角成分から決まる。

対角行列の複合行列の対角成分は、元の対角成分の \(r\) 個の積になる。

\(A \in M_n\) の特異値分解を

A = U \Sigma V^*

とする。ここで \(U,V\) はユニタリ、 \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_n)\) であり、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0\) とする。

複合行列の性質より

C_r(A) = C_r(U)\, C_r(\Sigma)\, C_r(V)^*

が成り立つ。\(C_r(U)\) および \(C_r(V)\) はユニタリであるため、特異値は中央の \(C_r(\Sigma)\) の特異値と一致する。

\(\Sigma\) は対角行列であるから、\(C_r(\Sigma)\) も対角行列となり、その対角成分は

\sigma_{i_1} \cdots \sigma_{i_r} \quad (1 \le i_1 \lt \cdots \lt i_r \le n)

である。したがって、\(C_r(A)\) の特異値は、すべての可能な積 \(\sigma_{i_1} \cdots \sigma_{i_r}\) である。

次に、特異値の二乗和について考える。一般に、行列 \(B\) の特異値を \(\tau_k\) とすると、

\mathrm{tr}(BB^*) = \sum_k \tau_k^2

が成り立つ。

ここで複合行列の性質より

C_r(A) C_r(A)^* = C_r(AA^*)

であるから、

\mathrm{tr}(C_r(A) C_r(A)^*) = \mathrm{tr} C_r(AA^*)

となる。

\(AA^*\) の固有値は \(\sigma_1^2,\dots,\sigma_n^2\) であるから、\(C_r(AA^*)\) の固有値はそれらの \(r\) 個の積である。したがって

\mathrm{tr} C_r(AA^*) = S_r(\sigma_1^2,\dots,\sigma_n^2)

となる。ここで \(S_r\) は第 \(r\) 基本対称式である。

特に \(r=2\) のときは

\mathrm{tr} C_2(AA^*) = \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2 \sigma_j^2

となる。