[行列解析2.6.p32]ブロック行列の特異値の重複

2.6.P32

2.6.問題32

\(A \in M_n\) とし、

B=\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}

とする。

もし \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\) が \(A\) の特異値であるなら、\(\sigma_1, \sigma_1, \ldots, \sigma_n, \sigma_n\) がこの行列の特異値であることを示せ。

特異値は \(B^*B\) の固有値の平方根である。

ここで \(B=\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix}\) とおき、まず \(B^{\top}B\) を計算する。

ブロック行列の積を丁寧に計算すれば、対角ブロックに \(A^{\top}A\) と \(AA^{\top}\) が現れることが分かる。

行列

B = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix}

を考える。特異値は \(B^{\top}B\) の固有値の平方根であるから、まずこれを計算する。

B^{\top} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix}

よって

B^{\top}B = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^{\top} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AA^{\top} & 0 \\ 0 & A^{\top}A \end{pmatrix}

ここで、\(A\) の特異値を \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\) とすると、 \(A^{\top}A\) および \(AA^{\top}\) の固有値は \(\sigma_1^2,\dots,\sigma_n^2\) である。

したがって \(B^{\top}B\) の固有値は

\sigma_1^2,\dots,\sigma_n^2, \sigma_1^2,\dots,\sigma_n^2

である。

特異値はこれらの平方根であるから、\(B\) の特異値は

\sigma_1,\sigma_1,\dots,\sigma_n,\sigma_n

となる。すなわち、\(A\) の各特異値は 2 回ずつ現れる。