[行列解析2.6.p31]特異値分解とブロック行列の固有値

2.6.P31

2.6.問題31

\(A \in M_{m,n}\) とする。

(a) 特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を用いて、エルミート行列

\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pmatrix} \in M_{m+n}

が実行列

\begin{pmatrix} 0 & \Sigma \\ \Sigma^{\top} & 0 \end{pmatrix}

とユニタリ合同であることを示せ。

(b) もし \(m = n\) かつ \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) であれば、\(A\) の固有値は \(\pm \sigma_1, \ldots, \pm \sigma_n\) となる理由を説明せよ。

特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を用い、ブロック対角のユニタリ行列 \(U = \begin{pmatrix} V & 0 \\ 0 & W \end{pmatrix}\) を考えるとよい。

これで \(\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pmatrix}\) をユニタリ合同変換する。

さらに \(\begin{pmatrix} 0 & \Sigma \\ \Sigma^{\top} & 0 \end{pmatrix}\) の固有値は、2次元ブロックごとに調べればよい。

(a) 特異値分解により、ユニタリ行列 \(V \in M_m\)、\(W \in M_n\) が存在して

A = V \Sigma W^*

と書ける。ここでブロック行列

U = \begin{pmatrix} V & 0 \\ 0 & W \end{pmatrix}

を考えると、\(U\) はユニタリである。これを用いて

U^* \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pmatrix} U

を計算する。

= \begin{pmatrix} V^* & 0 \\ 0 & W^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & V \Sigma W^* \\ W \Sigma^{\top} V^* & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V & 0 \\ 0 & W \end{pmatrix}

行列積を順に計算すると、

= \begin{pmatrix} 0 & \Sigma \\ \Sigma^{\top} & 0 \end{pmatrix}

となる。よって \(\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pmatrix}\) は \(\begin{pmatrix} 0 & \Sigma \\ \Sigma^{\top} & 0 \end{pmatrix}\) とユニタリ合同である。

(b) \(m=n\) かつ \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_n)\) とする。このとき

\begin{pmatrix} 0 & \Sigma \\ \Sigma & 0 \end{pmatrix}

は各 \(i\) ごとに

\begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}

という 2 次元ブロックの直和とみなせる。この行列の固有値は、

\det \begin{pmatrix} -\lambda & \sigma_i \\ \sigma_i & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \sigma_i^2

より、\(\lambda = \pm \sigma_i\) である。

ユニタリ合同変換は固有値を保つので、 \(\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pmatrix}\) の固有値は \(\pm \sigma_1,\dots,\pm \sigma_n\) である。