[行列解析2.6.p3]

2.6.問題3

2.6.P3

\(A, B \in M_{n,m}\) が同時にユニタリ合同で対角行列にできるのはいつか？

\(AB^*\) および \(B^*A\) が両方正規であることと、

ユニタリ行列 \(X \in M_n\)、\(Y \in M_m\) が存在して

\(A = X \Sigma Y^*, B = X \Delta Y^*\) となり、

\(\Sigma, \Delta \in M_{n,m}\) が対角で、\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは

同値であることを示せ。

形式 (2.6.3.1,2)

行列 \( A \in M_{n,m} \) を与える。

ここで \( q = \min\{m, n\} \) とし、さらに \(r=\mathrm{rank}\,A\) であるとする。

この時、ユニタリ行列 \( V \in M_n \) および \( W \in M_m \) と次のような正方対角行列 \( \Sigma_q \) が存在します。

\Sigma_q =
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{q}
\end{bmatrix}

ここで \(\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots \geq \sigma_{r} \gt 0 = \sigma_{r+1} = \cdots = \sigma_{q}\) であり、次が成り立ちます：

A = V \Sigma W^{*}

\(\Sigma \)は、次のように場合分けされます。

\Sigma =
\Sigma_q
\in M_{n}

\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_q & 0
\end{bmatrix}
\in M_{n,m}

\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_q \\
0
\end{bmatrix}
\in M_{n,m}

[行列解析2.6]ユニタリ同値と特異値分解

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2025.08.30