[行列解析2.6.p24]

2.6.問題24

2.6.P24

\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ共役自己消滅 (conjugate self-annihilating) すなわち \(A \bar A = 0\) であるとする。

\(A\) がユニタリ合同で (2.6.8) の形式に変形できることの証明概要について詳細を示せ。

ここで \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r \gt 0\) は \(A\) の正の特異値である。

(a) \(\mathrm{range}(\bar A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるため、\(2r \le n\)。

(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^T\) の零空間の正規直交基底とし、\(U_2^T A = 0\) とする。\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとしたとき、\(U_1 \in M_{n,r}\) の列は \(\bar A\) の像の正規直交基底であり、\(AU_1 = 0\) となる理由を説明せよ。

(c) \(U^T A U = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで \(B \in M_{r,n-r}\) であり \(\mathrm{rank}(B) = r\)。

(d) \(B = V [\Sigma_r \; 0_{r,n-2r}] W^*\)、ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\)。

(e) \(Z = \bar V \oplus W\) とすると、\(Z^T (U^T A U) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\)、これは置換行列を用いて (2.6.8) とユニタリ合同である。

別のアプローチは (3.4.P5) を参照せよ。