2.6.P24
2.6.問題24
\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ共役自己消滅 (conjugate self-annihilating) すなわち \(A \bar A = 0\) であるとする。
\(A\) がユニタリ合同で (2.6.8) の形式に変形できることの証明概要について詳細を示せ。
\sigma_1
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\sigma_r
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus 0_{n-2r}
ここで \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r \gt 0\) は \(A\) の正の特異値である。
(a) \(\mathrm{range}(\bar A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるため、\(2r \le n\)。
(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^{\top}\) の零空間の正規直交基底とし、\(U_2^{\top} A = 0\) とする。\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとしたとき、\(U_1 \in M_{n,r}\) の列は \(\bar A\) の像の正規直交基底であり、\(AU_1 = 0\) となる理由を説明せよ。
(c) \(U^{\top} A U = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで \(B \in M_{r,n-r}\) であり \(\mathrm{rank}(B) = r\)。
(d) \(B = V [\Sigma_r \; 0_{r,n-2r}] W^*\)、ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\)。
(e) \(Z = \bar V \oplus W\) とすると、\(Z^{\top} (U^{\top} A U) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\)、これは置換行列を用いて (2.6.8) とユニタリ合同である。
別のアプローチは (3.4.P5) を参照せよ。
ヒント
条件 \(A\bar A = 0\) から、任意のベクトル \(x\) に対して \(A(\bar A x)=0\) が成り立つ。
したがって \(\mathrm{range}(\bar A)\subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) となり、階数・次元の関係より \(2r\le n\) が従う。
次に、\(A^T\) の零空間の正規直交基底を用いてユニタリ行列 \(U=[U_1\;U_2]\) を構成する。
\(U_1\) の列を \(\mathrm{range}(\bar A)\) の正規直交基底とすると、先の包含関係より \(AU_1=0\) となる。
この基底に関する表示では \(U^T A U\) は上三角ブロック形 \(\begin{pmatrix}0 & B\\0 & 0\end{pmatrix}\) となり、\(B\) の特異値分解を用いてさらに簡約できる。
最後に適切なユニタリ行列および置換行列を用いることで、所望の直和形に到達する。
解答例
(a) まず \(A\bar A=0\) より、任意の \(x\in\mathbb{C}^n\) に対して
A(\bar A x)=0
が成り立つ。よって \(\bar A x\in \mathrm{nullspace}(A)\) であり、
\mathrm{range}(\bar A)\subseteq \mathrm{nullspace}(A)
である。ここで \(\mathrm{rank}(A)=r\) であるから、\(\dim \mathrm{range}(\bar A)=r\)、\(\dim \mathrm{nullspace}(A)=n-r\) である。したがって
r \le n-r
すなわち \(2r\le n\) が従う。
(b) 次に、\(A^{\top}\) の零空間の正規直交基底を列にもつ行列を \(U_2\in M_{n,n-r}\) とする。このとき
U_2^{\top} A = 0
が成り立つ。
さらに \(\mathrm{range}(\bar A)\) の正規直交基底を列にもつ行列を \(U_1\in M_{n,r}\) とする。先に示した包含関係より、各列 \(u\) は \(Au=0\) を満たすから
A U_1 = 0
である。
\(U=[U_1\;U_2]\) とおけば、これはユニタリ行列となる。
この基底に関する表示を計算すると、
U^{\top} A U =
\begin{pmatrix}
0 & B \\
0 & 0
\end{pmatrix},
\quad B \in M_{r,n-r}
となる。また \(\mathrm{rank}(U^T A U)=\mathrm{rank}(A)=r\) であるから、\(\mathrm{rank}(B)=r\) である。
(d) ここで \(B\) の特異値分解をとると、ユニタリ行列 \(V\in M_r\)、\(W\in M_{n-r}\) を用いて
B = V
\begin{pmatrix}
\Sigma_r & 0_{r,n-2r}
\end{pmatrix}
W^*
と書ける。ただし \(\Sigma_r=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\)、\(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r>0\) は \(A\) の正の特異値である。
(e) いま \(Z=\bar V\oplus W\) とおくと、直接計算により
Z^{\top} (U^{\top} A U) Z
=
\begin{pmatrix}
0 & \Sigma_r \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\oplus 0_{n-2r}
を得る。最後に適切な置換行列によって各 \(2\times2\) ブロックを並べ替えれば、
\sigma_1
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\sigma_r
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\oplus 0_{n-2r}
の形となる。
以上より、\(A\) は所望の形とユニタリ合同であることが示された。
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