[行列解析2.6.p22]

2.6.問題22

2.6.P22

\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。

(a) \(A \bar B\) がエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B = U \Lambda U^T\)、\(\Sigma, \Lambda \in M_n(\mathbb{R})\) が対角行列であり、\(\Sigma\) の対角成分が非負であることは同値であることを示せ。

(b) \(A \bar B\) がエルミートでかつ非負固有値を持つことと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B = U \Lambda U^T\)、\(\Sigma, \Lambda \in M_n(\mathbb{R})\) が対角行列であり、\(\Sigma\) および \(\Lambda\) の対角成分が非負であることは同値であることを示せ。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)