2.6.P20
2.6.問題20
\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。
もし \(A\) が正則の場合、特別な特異値分解 (2.6.6(a)) が知られている。
(2.6.6(a))
（オートン） \(A = A^{\top}\) であることは、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と非負の対角行列 \(\Sigma\) が存在して \(A = U \Sigma U^{\top}\) と表せることと同値である。 \(\Sigma\) の対角成分は \(A\) の特異値である。
この分解が \(A\) が特異行列であっても有効であることを示すための2つのアプローチについて詳細を示せ。
(a) \(A_\varepsilon = A + \varepsilon I\) を考え、(2.1.8) および (2.6.4) を使用する。
補題(2.1.8)
\( U_1, U_2, \ldots \in M_n \) をユニタリ行列の無限列とする。
このとき、無限部分列 \( U_{k_1}, U_{k_2}, \ldots \) （ただし \( 1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \)）が存在し、各 \( U_{k_i} \) の成分が \( i \to \infty \) のときにユニタリ行列の成分に収束する。
定理(2.6.4)
無限列 \( A_1, A_2, \ldots \in M_{n,m} \) が与えられ、成分ごとの収束により \(\lim_{k \to \infty} A_k = A\) であるとする。
また \( q = \min\{m, n\} \) とする。
ここで \( \sigma_1(A) \geq \cdots \geq \sigma_q(A) \)、および \( \sigma_1(A_k) \geq \cdots \geq \sigma_q(A_k) \) を、それぞれ \(A\) および \(A_k\) の非増加順に並べた特異値とする。
このとき、各 \( i = 1, \ldots, q \) に対して次が成り立つ：
\lim_{k \to \infty} \sigma_i(A_k) = \sigma_i(A)
(b) \(U_1 \in M_{n,\nu}\) の列を \(A\) の零空間の正規直交基底とし、\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとする。\(U^{\top} AU\) を
[ A_{ij} ]_{i,j=1}^2
と分割したとき、\(A_{11}, A_{12}, A_{21}\) は零行列であり、\(A_{22}\) は正則かつ対称である理由を説明せよ。
ヒント
正則な対称行列については \(A = U \Sigma U^{\top}\) が成り立つことが既知である。
特異な場合には、まず \(A_\varepsilon = A + \varepsilon I\) として正則行列に近似し、極限をとる方法が考えられる。
このとき特異値の連続性 \( \sigma_i(A_\varepsilon) \to \sigma_i(A) \) を用いる。
もう一つの方法は、零空間の正規直交基底を用いて空間を直交分解し、その基底に関する表示を調べる方法である。
零空間に対応する部分では行列は零になり、残りの部分は正則対称行列となる。
解答例
(a) まず \(A_\varepsilon = A + \varepsilon I\)（\(\varepsilon > 0\)）とおく。\(A\) が対称であるから \(A_\varepsilon\) も対称である。さらに \(\varepsilon I\) を加えているので、十分小さい \(\varepsilon > 0\) に対しても \(A_\varepsilon\) は正則である。
したがって既知の結果より、各 \(\varepsilon\) に対してユニタリ行列 \(U_\varepsilon\) と非負対角行列 \(\Sigma_\varepsilon\) が存在して
A_\varepsilon = U_\varepsilon \Sigma_\varepsilon U_\varepsilon^{\top}
と表せる。ここで \(\Sigma_\varepsilon\) の対角成分は \(A_\varepsilon\) の特異値である。
補題 (2.1.8) により、\(\{U_\varepsilon\}\) から収束する部分列を取ることができ、その極限を \(U\) とする。このとき \(U\) はユニタリ行列である。
さらに定理 (2.6.4) により、各特異値について
\lim_{\varepsilon \to 0} \sigma_i(A_\varepsilon)
=
\sigma_i(A)
が成り立つ。したがって \(\Sigma_\varepsilon\) も成分ごとに収束し、その極限を \(\Sigma\) とすれば、
A = U \Sigma U^{\top}
が従う。よって \(A\) が特異であっても同様の分解が成立する。
(b) 次に別の方法を示す。\(A\) の零空間の次元を \(\nu\) とし、その正規直交基底を列にもつ行列を \(U_1 \in M_{n,\nu}\) とする。これを拡張してユニタリ行列 \(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) を取る。
このとき
U^{\top} A U
=
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{pmatrix}
と分割する。\(U_1\) の各列は零空間に属するから \(AU_1 = 0\) である。よって \(U_1^{\top} A U_1 = 0\)、および \(U_1^{\top} A U_2 = 0\) である。
したがって
A_{11} = 0, \quad
A_{12} = 0, \quad
A_{21} = 0
が成り立つ。また \(A\) は対称であるから \(U^{\top} A U\) も対称であり、特に \(A_{22}\) は対称である。
さらに、零空間を取り除いた部分空間上では \(A\) は単射であるから、\(A_{22}\) は正則である。したがって既知の正則対称行列の場合の結果を \(A_{22}\) に適用できる。
以上により、\(A\) が特異であっても \(A = U \Sigma U^{\top}\) の形の特異値分解が成立することが示された。
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