[行列解析2.6.p20]

2.6.問題20

\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。

もし \(A\) が正則の場合、特別な特異値分解 (2.6.6(a)) が知られている。

この分解が \(A\) が特異行列であっても有効であることを示すための2つのアプローチについて詳細を示せ。

(a) \(A_\varepsilon = A + \varepsilon I\) を考え、(2.1.8) および (2.6.4) を使用する。

(b) \(U_1 \in M_{n,\nu}\) の列を \(A\) の零空間の正規直交基底とし、\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとする。UT AU を

[ A_{ij} ]_{i,j=1}^2

と分割したとき、\(A_{11}, A_{12}, A_{21}\) は零行列であり、\(A_{22}\) は正則かつ対称である理由を説明せよ。